Đề bài
Cho tam giác \[ABC\], các đường cao \[BH\] và \[CK\]. Chứng minh rằng:
a] Bốn điểm \[B, C, H, K\] cùng thuộc một đường tròn;
b] \[HK < BC.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Để chứng minh các điểm thuộc cùng một đường tròn ta chứng minh các điểm này cách đều một điểm.
+ Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
Lời giải chi tiết
a] Gọi \[I\] là trung điểm của \[BC\]
Tam giác \[BCH\] vuông tại \[H\] có \[HI\] là đường trung tuyến nên: \[HI= IB=IC=\dfrac{1}{2}BC\] [tính chất tam giác vuông]
Tam giác \[BCK\]vuông tại \[K\] có \[KI\] là đường trung tuyến nên:
\[KI =IB=IC= \dfrac{1}{2}BC\] [tính chất tam giác vuông]
Suy ra: \[IB = IC = IH = IK=\dfrac{1}{2}BC.\]
Vậy bốn điểm \[B, C, H, K\] cùng nằm trên một đường tròn tâm \[I\] bán kính bằng \[\dfrac{1}{2}BC\].
b] Trong đường tròn tâm \[I\] bán kính \[\dfrac{1}{2}BC,\] ta có \[KH\] là dây cung không đi qua tâm, \[BC\] là đường kính nên: \[KH < BC\] [trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính].