Đề bài
Dây cung của elip [E]:\[\displaystyle {{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1 [0 < b < a]\] vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm có độ dài là:
A. \[\displaystyle {{2{c^2}} \over a}\] B. \[\displaystyle {{2{b^2}} \over a}\]
C. \[\displaystyle {{2{a^2}} \over c}\] D. \[\displaystyle {{{a^2}} \over c}\]
Video hướng dẫn giải
Lời giải chi tiết
Gọi đường thẳng \[Δ\] đi qua tiêu điểm \[F_2[c; 0]\] của elip [E] và vuông góc với trục lớn.
Khi đó \[\Delta //Oy\] và \[{F_2}\left[ {c;0} \right] \in \Delta \] nên \[\Delta :x - c = 0\]
\[Δ\] cắt \[[E]\] tại hai điểm \[M\] và \[N\] có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = c\\
\dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = c\\
\dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = c\\
1 - \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = c\\
\dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = c\\
{y^2} = \dfrac{{{b^4}}}{{{a^2}}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = c\\
y = \pm \dfrac{{{b^2}}}{a}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow M\left[ {c;\dfrac{{{b^2}}}{a}} \right],N\left[ {c; - \dfrac{{{b^2}}}{a}} \right]
\end{array}\]
\[ \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left[ {c - c} \right]}^2} + {{\left[ { - \dfrac{{{b^2}}}{a} - \dfrac{{{b^2}}}{a}} \right]}^2}} \] \[= \sqrt {0 + \dfrac{{4{b^4}}}{{{a^2}}}} = \dfrac{{2{b^2}}}{a}\]
Vậy độ dài dây cung của \[[E]\] là độ dài đoạn thẳng \[MN = {{2{b^2}} \over a}\].
Chọn B