Đề bài
Cho điểm \[M\] nằm trong tam giác\[ABC.\]Chứng minh rằng tổng\[MA + MB + MC\]lớn hơn nửa chu vi tam giác \[ABC.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
Trong một tam giác:
+] Hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại
+] Độ dài một cạnh bao giờ cũng nhỏ hơn tổng độ dài của hai cạnh còn lại
+] Chu vi tam giác bằng tổng ba cạnh của tam giác đó
Lời giải chi tiết
Nửa chu vi tam giác \[ABC\] là: \[\displaystyle{{AB + AC + BC} \over 2}\]
Trong\[AMB\]ta có:
\[MA + MB > AB\][bất đẳng thức tam giác] [1]
Trong\[AMC\]ta có:
\[MA + MC > AC\][bất đẳng thức tam giác] [2]
Trong\[BMC\]ta có:
\[MB + MC > BC\][bất đẳng thức tam giác] [3]
Cộng từng vế của [1], [2] và [3] ta có:
\[MA + MB + MA + MC + MB + MC\]\[ > AB + AC + BC\]
Hay \[2[MA + MB + MC] \]\[> AB + AC + BC\]
Suy ra:\[\displaystyle MA + MB + MC \]\[\displaystyle > {{AB + AC + BC} \over 2}\]