Đề bài
\[\int {x\ln \left[ {x + 1} \right]dx} \] bằng
A. \[\left[ {\dfrac{{{x^2}}}{2} - 1} \right]\ln \left[ {x + 1} \right] + \dfrac{1}{4}{\left[ {x - 1} \right]^2} + C\]
B. \[\left[ {\dfrac{{{x^2}}}{2} - 1} \right]\ln \left[ {x + 1} \right] - \dfrac{1}{2}{\left[ {x - 1} \right]^2} + C\]
C. \[\left[ {\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}} \right]\ln \left[ {x + 1} \right] - \dfrac{1}{4}{\left[ {x - 1} \right]^2} + C\]
D. \[\left[ {\dfrac{{{x^2}}}{2} + 1} \right]\ln \left[ {x + 1} \right] - \dfrac{1}{4}{\left[ {x - 1} \right]^2} + C\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần \[\int {udv} = uv - \int {vdu} \].
Lời giải chi tiết
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left[ {x + 1} \right]\\dv = xdx\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{{x + 1}}dx\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\]
Khi đó \[\int {x\ln \left[ {x + 1} \right]dx} \]\[ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left[ {x + 1} \right] - \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}}dx} \] \[ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left[ {x + 1} \right] - \dfrac{1}{2}\int {\left[ {x - 1 + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right]dx} \]
\[ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left[ {x + 1} \right] - \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}\ln \left[ {x + 1} \right] + C\] \[ = \left[ {\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}} \right]\ln \left[ {x + 1} \right] - \dfrac{1}{4}\left[ {{x^2} - 2x + 1} \right] + C'\]
\[ = \left[ {\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}} \right]\ln \left[ {x + 1} \right] - \dfrac{1}{4}{\left[ {x - 1} \right]^2} + C'\]
Chọn C.