Khi đó \[\eqalign{ & SK = x\cot \varphi ;\;OK = xtan{30^0} = {x \over {\sqrt 3 }}. \cr & {h^2} = S{K^2} - O{K^2} = {{{x^2}} \over 3}[3{\cot ^2}\varphi - 1] \cr & \Rightarrow {x^2} = {{3{h^2}} \over {3{{\cot }^2}\varphi - 1}}. \cr} \]
Đề bài
Cho khối chóp tam giác đều \[S.ABC\] có chiều cao bằnghvà gócASBbằng \[2\varphi \]. Hãy tính thể tích khối chóp.
Lời giải chi tiết
Giả sửOlà tâm của tam giác đềuABC.
Khi đó \[SO \bot \left[ {ABC} \right]\] vàSO = h.
GọiKlà trung điểm củaAB. ĐặtAK = x.
Khi đó \[\eqalign{ & SK = x\cot \varphi ;\;OK = xtan{30^0} = {x \over {\sqrt 3 }}. \cr & {h^2} = S{K^2} - O{K^2} = {{{x^2}} \over 3}[3{\cot ^2}\varphi - 1] \cr & \Rightarrow {x^2} = {{3{h^2}} \over {3{{\cot }^2}\varphi - 1}}. \cr} \]
Ta có: \[\eqalign{ & {S_{ABC}} = {{A{B^2}\sin {{60}^0}} \over 2} = {x^2}\sqrt 3 , \cr & \Rightarrow {V_{S.ABC}} = {1 \over 3}{S_{ABC}}.h = {{{x^2}\sqrt 3 } \over 3}h \cr&= {{{h^3}\sqrt 3 } \over {3{{\cot }^2}\varphi - 1}}. \cr} \]