Đề bài
Giải phương trình
\[\sqrt[3]{{\dfrac{1}{2} + x}} + \sqrt {\dfrac{1}{2} - x} = 1\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đưa phương trình về hệ phương trình cơ bản bằng cách đặt ẩn số phụ
Lời giải chi tiết
ĐK: \[\frac{1}{2} - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{1}{2}\]
Đặt \[u = \sqrt[3]{{\dfrac{1}{2} + x}},v = \sqrt {\dfrac{1}{2} - x} \], điều kiện \[v \ge 0\].
Ta được hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}u + v = 1\\{u^3} + {v^2} = 1\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
v = 1 - u\\
{u^2} + {\left[ {1 - u} \right]^2} = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
v = 1 - u\\
{u^3} + 1 - 2u + {u^2} = 1
\end{array} \right.
\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 1 - u[1]\\{u^3} + {u^2} - 2u = 0[2]\end{array} \right.\]
[2]\[ \Leftrightarrow u[{u^2} + u - 2] = 0\].
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = 0\\
{u^2} + u - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = 0\\
u = 1\\
u = - 2
\end{array} \right.\]
+Với \[u = 0\] ta có \[v = 1\] [TM]
\[ \Rightarrow \sqrt {\frac{1}{2} - x} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} - x = 1 \] \[\Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}\]
+Với \[u = 1\] ta có \[v = 0\] [TM]
\[ \Rightarrow \sqrt {\frac{1}{2} - x} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} - x = 0 \] \[\Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\]
+Với \[u = - 2\] ta có \[v = 3\] [TM]
\[ \Rightarrow \sqrt {\frac{1}{2} - x} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{2} - x = 9\] \[ \Leftrightarrow x = - \frac{{17}}{2}\]
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm
\[x_1 = - \dfrac{1}{2}\], \[x_2 = \dfrac{1}{2}\]và \[x_3 = - \dfrac{{17}}{2}\].