Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho đường tròn [C]: \[{[x - 1]^2} + {[y - 2]^2} = 4\]và đường thẳng \[d:x - y - 1 = 0\]. Viết phương trình đường tròn [C]đối xứng với đường tròn [C]qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của [C]và [C].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tìm tọa độ tâm \[I\]và bán kính \[R\]của đường tròn \[\left[ C \right]\].
- Tìm tọa độ điểm \[J\]đối xứng với \[I\]qua \[d\].
- Đường tròn \[\left[ {C'} \right]\]đối xứng \[\left[ C \right]\]qua \[d\]thì có tâm \[J\]và bán kính \[R\].
- Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm của hai đường tròn. Tìm nghiệm và kết luận.
Lời giải chi tiết
Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \left[ {1; - 1} \right].\]
Do đó đường thẳng \[\Delta \]đi qua tâm \[I\left[ {1;2} \right]\]và vuông góc vớidnên nhận \[\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {1;1} \right]\] làm VTPT.
\[\Delta\] có phương trình :
\[1\left[ {x - 1} \right] + 1\left[ {y - 2} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow x + y - 3 = 0\]
Tọa độ giao điểm H của d và \[\Delta \]là nghiệm của hệ phương trình :
\[\left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\x + y - 3 = 0\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right. \] \[\Rightarrow H\left[ {2;1} \right]\]
Gọi J là điểm đối xứng của I quad. Khi đó:
\[\left\{ \begin{array}{l}{x_J} = 2{x_H} - {x_I} = 3\\{y_J} = 2{y_H} - {y_I} = 0\end{array} \right. \] \[\Rightarrow J[3;0].\]
Vì [C ]đối xứng với [C ]qua d nên [C ]có tâm là \[J\left[ {3;0} \right]\]và bán kính R = 2.
Do đó [C ]có phương trình là : \[{\left[ {x - 3} \right]^2} + {y^2} = 4\]
Tọa độ các giao điểm của [C ]và [C ]là nghiệm của hệ phương trình :
\[\left\{ \begin{array}{l}{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} = 4\\{\left[ {x - 3} \right]^2} + {y^2} = 4\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\{\left[ {x - 3} \right]^2} + {y^2} = 4\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 1\\2{x^2} - 8x + 6 = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1,y = 0\\x = 3,y = 2.\end{array} \right.\]
Vậy tọa độ giao điểm của [C ]và [C ]là A[1 ; 0] và B[3 ; 2].