Đề bài
Cho vectơ \[ \overrightarrow{v}\], đường thẳng \[d\] vuông góc với giá của vectơ \[ \overrightarrow{v}\]. Gọi \[d'\] là ảnh của \[d\] qua phép tịnh tiến theo vectơ \[ \dfrac{1}{2}\]\[ \overrightarrow{v}\]. Chứng minh rằng phép tịnh tiến theo vectơ \[ \overrightarrow{v}\] là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng \[d\] và \[d'\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định nghĩa phép tịnh tiến và phép đối xứng trục.
Phép tịnh tiến theo vector \[\overrightarrow v \] biến điểm A thành điểm A \[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow v \].
Phép đối xứng trục d biến điểm A thành A \[ \Leftrightarrow \] d là trung trực của AA.
Lời giải chi tiết
Lấy A bất kì thuộc đường thẳng d, xác định điểm B sao cho \[\overrightarrow {AB} = {{\overrightarrow v } \over 2}\], qua B kẻ đường thẳng d // d. Khi đó d chính là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vector \[{{\overrightarrow v } \over 2}\].
Lấy M là một điểm bất kì, gọi \[M' = {D_d}\left[ M \right];\,\,M'' = {D_{d'}}\left[ {M'} \right]\]
Gọi \[{M_0} = MM' \cap d;\,\,{M_1} = M'M'' \cap d' \Rightarrow {M_0}\] và \[{M_1}\] lần lượt là trung điểm của \[MM'\] và \[M'M''\].
Ta có \[\overrightarrow {MM'} = 2\overrightarrow {{M_0}M'} ;\,\,\overrightarrow {M'M''} = 2\overrightarrow {M'{M_1}} \]
\[\eqalign{ & \Rightarrow \overrightarrow {MM''} = \overrightarrow {MM'} + \overrightarrow {M'M''} = 2\overrightarrow {{M_0}M'} + 2\overrightarrow {M'{M_1}} \cr & = 2\left[ {\overrightarrow {{M_0}M'} + \overrightarrow {M'{M_1}} } \right] = 2\overrightarrow {{M_0}{M_1}} = 2\overrightarrow {AB} \cr&= \overrightarrow v \cr & \Rightarrow {T_{\overrightarrow v }}\left[ M \right] = M'' \cr} \]
Vậy phép tịnh tiến theo vector \[\overrightarrow v \] là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng \[d\] và \[d'\].