Đề bài
Xác định các hệ số a, b và c để cho hàm số \[y = ax^2+ bx + c\] đạt giá trị nhỏ nhất bằng \[{3 \over 4}\]khi \[x = {1 \over 2}\]và nhận giá trị bằng 1 khi x = 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
-Đặt \[f[x] = ax^2+ bx + c\].
- Lập hệ phương trình ẩn a, b, c.
- Giải hệ suy ra hàm số cần tìm và lập bảng biến thiên.
Chú ý:
Hàm số\[f[x] = ax^2+ bx + c\,\,[a>0]\] đạt GTNN tại \[x = - \frac{b}{{2a}}\]
Lời giải chi tiết
Đặt \[f[x] = ax^2+ bx + c\].
+] Hàm số\[f[x] = ax^2+ bx + c\] đạt GTNN tại \[x = - \frac{b}{{2a}}\] nên \[- \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{2}\,\,\,[1]\]
+] GTNN đạt được bằng\[{3 \over 4}\]khi \[x = {1 \over 2}\] nên \[f\left[ {\frac{1}{2}} \right] = \frac{3}{4}\]
\[ \Leftrightarrow a.{\left[ {\frac{1}{2}} \right]^2} + b.\frac{1}{2} + c = \frac{3}{4}\]\[ \Leftrightarrow \frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + c = \frac{3}{4}\,\,\left[ 2 \right]\]
+] \[f\left[ 1 \right] = 1 \]\[\Leftrightarrow a{.1^2} + b.1 + c = 1\]\[ \Leftrightarrow a + b + c = 1\,\,\left[ 3 \right]\]
Từ [1] [2] và [3] ta có hệ:
\[\left\{ \matrix{
- {b \over {2a}} = {1 \over 2} \hfill \cr
{1 \over 4}a + {1 \over 2}b + c = {3 \over 4} \hfill \cr
a + b + c = 1 \hfill \cr} \right. \]\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a + b = 0 \hfill \cr
a + 2b + 4 = 3 \hfill \cr
a + b + c = 1 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
b = - 1 \hfill \cr
c = 1 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[y = x^2 x + 1\]
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số: