Đề bài
Cho tứ diện đềuABCD, AA1là một đường cao của tứ diện. Gọi I là trung điểm củaAA1. Mặt phẳng [BCI] chia tứ diện đã cho thành hai tứ diện. Tính tỉ số hai bán kính của hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứ diện đó.
Lời giải chi tiết
GọiNlà trung điểm củaBCvàJlà giao điểm củaNIvớiAD, khi đómp[BCI]chia tứ diện đã cho thành hai tứ diệnBCDJvàABCJ.
Dễ thấy \[{\rm{AJ = }}{1 \over 4}AD.\]
Vì \[{\rm{A}}{{\rm{A}}_1} \bot mp[BCD]\] nên mọi điểm thuộc \[{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}\] cách đềuB,C, D.
Khi đó, tâmO1của mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnBCDJlà giao điểm của \[{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}\] với đường trung trực củaJD[xét trongmp[\[{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}D\]]].
Tương tự như trên, tâmO2của mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnABCJlà giao của với đường trung trực củaAJ[ xét trongmp[ADD1]][DD1là đường cao kẻ từ đỉnhDcủa tứ diệnABCD].
GọiEvàFlần lượt là trung điểm củaDJvàAJ.Xét tứ giác nội tiếp \[{O_1}{A_1}DE\] [hình 89b], ta có
\[\eqalign{ & AE.AD = A{O_1}{\rm{.A}}{{\rm{A}}_1} \cr & \Rightarrow A{O_1} = {{AE.AD} \over {A{A_1}}}. \cr} \]
Mặt khác
\[{\rm{A}}{{\rm{A}}_1} = {{a\sqrt 6 } \over 3},AE = {a \over 4} + {{3a} \over 8} = {{5a} \over 8}.\]
Từ đó
\[A{O_1} = {{5a.a} \over {8.{{a\sqrt 6 } \over 3}}} = {{5a\sqrt 6 } \over {16}}.\]
Và do đó \[{A_1}{O_1} = {A_1}A - A{O_1} \]
\[= {{a\sqrt 6 } \over 3} - {{5a\sqrt 6 } \over {16}} = {{a\sqrt 6 } \over {48}}\]
Vậy bán kính \[{R_1}\] của mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnBCDJlà
\[\eqalign{ & R_1^2 = {O_1}{D^2} = {A_1}O_1^2 + {A_1}{D^2}\cr&\;\;\;\;\;\; = {{6{a^2}} \over {{{48}^2}}} + {{3{a^2}} \over 9} = {{{a^2}} \over {48.8}} + {{{a^2}} \over 3} = {{129.{a^2}} \over {48.8}} \cr & \Rightarrow {R_1} = {{a\sqrt {129} } \over {8\sqrt 6 }}. \cr} \]
Từ giác \[{O_2}{D_1}FA\] nội tiếp đường tròn nên
\[{\rm{D}}{{\rm{D}}_1}.D{O_2} = DF.DA \Rightarrow D{O_2} = {{DF.DA} \over {D{D_1}}}.\]
Mặt khác
\[DF = {{3a} \over 4} + {a \over 8} = {{7a} \over 8},DA = a,{\rm{D}}{{\rm{D}}_1} = {{a\sqrt 6 } \over 3},\] từ đó
\[D{O_2} = {{{{7a} \over 8}.a} \over {{{a\sqrt 6 } \over 3}}} = {{21a\sqrt 6 } \over {8.6}} = {{7a\sqrt 6 } \over {16}}.\]
Suy ra \[{{\rm{D}}_1}{{\rm{O}}_2} = {{7a\sqrt 6 } \over {16}} - {{a\sqrt 6 } \over 3} = {{5a\sqrt 6 } \over {48}}\] và do đó, bán kính \[{R_2}\] của mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnABCJlà
\[R_2^2 = {O_2}A_2^2 = {O_2}D_1^2 + {D_1}{A^2} \]
\[= {{25{a^2}.6} \over {{{48}^2}}} + {\left[ {{{a\sqrt 3 } \over 3}} \right]^2} \]
\[= {{25{a^2}} \over {48.8}} + {{{a^2}} \over 3} = {{153{a^2}} \over {48.8}},\]
Từ đó \[{R_2} = {{a\sqrt {153} } \over {8\sqrt 6 }}.\] Vậy \[{{{R_1}} \over {{R_2}}} = {{a\sqrt {129} } \over {8\sqrt 6 }}:{{a\sqrt {153} } \over {8\sqrt 6 }} = \sqrt {{{43} \over {51}}} .\]