Đề bài
Cho \[S\] là diện tích tam giác \[ABC\]. Chứng minh rằng:
\[S=\dfrac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^{2}.\overrightarrow{AC}^{2}-[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}]^{2}}.\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng các công thức:
\[\begin{array}{l}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin A\\\sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} \\\cos A = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\end{array}\]
Lời giải chi tiết
\[S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin A\]\[=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-\cos^{2}A}\]
\[=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-\left[\dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|} \right ]^{2}}\]
\[ = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2} - A{B^2}A{C^2}.\dfrac{{{{\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right]}^2}}}{{{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}^2}.{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}^2}}}} \]
\[ = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} - A{B^2}.A{C^2}.\dfrac{{{{\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right]}^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}}} \]
\[=\dfrac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^{2}.\overrightarrow{AC}^{2}-[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}]^{2}}.\]