Đề bài
Ba phân số đều có tử số là \[1\] và tổng của ba phân số đó là \[1\]. Hiệu của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng phân số thứ ba, còn tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng \[5\] lần phân số thứ ba. Tìm các phân số đó.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
+] Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
+] Biểu diện các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
+] Dựa vào đề bài lập hệ phương trình.
+] Giải hệ phương trình tìm ẩn.
+] Đối chiếu với điều kiện của ẩn và kết luận nghiệm.
Lời giải chi tiết
Gọi các phân số cần tìm là \[x,\;y,\;z\;\;\left[ {x,\;y,\;z \in Q} \right].\]
Tổng của ba phân số bằng \[1\] nên ta có phương trình: \[x + y + z = 1\;\;\;\left[ 1 \right].\]
Hiệu của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng phân số thứ ba nên: \[x - y = z\;\;\;\;\left[ 2 \right].\]
Tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng \[5\] lần phân số thứ ba nên: \[x + y = 5z\;\;\;\;\left[ 3 \right].\]
Từ \[[[1], \, [2]\] và \[[3]\] ta có hệ phương trình:
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1\\x - y = z\\x + y = 5z\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1\;\;\;\;\;\;\left[ 1 \right]\\x - y - z = 0\;\;\;\;\;\;\left[ 4 \right]\\x + y - 5z = 0\;\;\;\;\;\left[ 5 \right]\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y - z = 0\\2x = 1\;\;\;\left[ {do\;\;\left[ 1 \right] + \left[ 4 \right]} \right]\\2x - 6z = 0\;\;\;\left[ {do\;\;\;\left[ 4 \right] + \left[ 5 \right]} \right]\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = x - z\\z = \frac{1}{6}\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\;\;\left[ {tm} \right]\\y = \frac{1}{3}\;\;\left[ {tm} \right]\\z = \frac{1}{6}\;\;\;\left[ {tm} \right]\end{array} \right..\end{array}\]
Vậy các phân số cần tìm là: \[\frac{1}{2}, \, \,\frac{1}{3}, \, \,\frac{1}{6}.\]
Cách 2:
Gọi các phân số cần tìm là\[x,\;y,\;z\;\;\left[ {x,\;y,\;z \in Q} \right].\]
Tổng của ba phân số bằng \[1\] nên ta có phương trình: \[x + y + z = 1\;\;\;\left[ 1 \right].\]
Hiệu của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng phân số thứ ba nên: \[x - y = z\;\;\;.\]
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow x = y + z\\
\Rightarrow x + y + z = 2x
\end{array}[2]\]
Tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng \[5\] lần phân số thứ ba nên: \[x + y = 5z\;\;\;\;.\]\[ \Rightarrow x + y + z = 5z + z = 6z \left[ 3 \right]\]
Từ [1,2]\[ \Rightarrow 2x = x + y + z = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\]
Từ [1,3]\[ \Rightarrow 6z = x + y + z = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{6}\]
Vậy\[y = 1 - x - z = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}\]
Ba phân số cần tìm là\[\frac{1}{2}, \, \,\frac{1}{3}, \, \,\frac{1}{6}.\]