Đề bài
Cho hình chóp cụt tứ giác đều \[ABCD.ABCD\] có các cạnh đáy là \[a\] và \[2a,\] chiều cao của mặt bên là \[a.\]
a] Tính diện tích xung quanh của hình chóp cụt.
b] Tính độ dài cạnh bên và chiều cao hình chóp cụt.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Định lí Pytago trong tam giác vuông: Bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của các cạnh góc vuông.
- Diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều bằng tổng diện tích các mặt bên của hình chóp cụt đó.
Lời giải chi tiết
a] Mỗi mặt bên của hình chóp cụt là một hình thang có hai đáy là \[a\] và \[2a\]; đường cao bằng \[a.\]
Diện tích một mặt bên là:
\[\displaystyle S = \left[ {a + 2a} \right].a:2 = {3 \over 2}{a^2}\] [đvdt]
Diện tích xung quanh hình chóp cụt là:
\[{S_{xq}} =\displaystyle 4.{3 \over 2}{a^2} = 6{a^2}\] [đvdt]
b] Kẻ \[AH AB\].
Ta lấy \[K\] là trung điểm của \[AB\], \[I\] là trung điểm của \[AB,\] \[O\] và \[O\] là tâm của hai hình vuông đáy.
Ta có \[A'I =\displaystyle {a \over 2};AK = a,IK=a \] mà \[HK=A'I=\displaystyle {a \over 2}\] [do \[AIKH\] là hình chữ nhật]
\[\Rightarrow AH =AK-KH=a-\displaystyle {a \over 2}=\displaystyle {a \over 2}\]
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \[AAH\], ta có:
\[A'{A^2} = A'{H^2} + A{H^2} \]\[\displaystyle = {a^2} + {{{a^2}} \over 4} = {{5{a^2}} \over 4}\]
\[ \Rightarrow AA' =\displaystyle \sqrt {{{5{a^2}} \over 4}} =\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\]
Vì \[O'I\] là đường trung bình của tam giác \[A'D'B'\] nên \[O'I=\dfrac{A'D'}{2}=\displaystyle {a \over 2}\]
Kẻ \[IE OK\]. Khi đó, \[O'IEO\] là hình chữ nhật nên \[OE=O'I=\displaystyle {a \over 2}\] và \[IE=OO'\]
Vì \[OK\] là đường trung bình của tam giác \[ADB\] nên \[OK=\dfrac{AD}{2}=a\]
\[ \Rightarrow EK=OK-OE\]\[=a-\displaystyle {a \over 2} = \displaystyle {a \over 2}\]
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \[IEK\], ta có:
\[I{K^2} = I{E^2} + E{K^2}\]
\[ \RightarrowI{E^2}=I{K^2} - E{K^2}\]
\[ \RightarrowI{E^2}= \displaystyle{a^2} - {\left[ {{a \over 2}} \right]^2} = {{3{a^2}} \over 4}\]
\[ \Rightarrow IE =\displaystyle \sqrt {{{3{a^2}} \over 4}} =\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].
Vậy chiều cao hình chóp cụt là \[OO'=IE=\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\].