Đề bài
Các đường cao hạ từ \[A\] và \[B\] của tam giác \[ABC\] cắt nhau tại \[H\] [góc \[C\] khác \[90^0\]] và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] lần lượt tại \[D\] và \[E\]. Chứng minh rằng:
a] \[CD = CE\] ; b] \[ΔBHD\] cân ; c] \[CD = CH\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Sử dụng: Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau và hai góc phụ nhau từ đó suy ra hai cung bằng nhau và hai dây bằng nhau.
b] Chứng minh tam giác BHD có BK vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên nó là tam giác cân
c] Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng
Lời giải chi tiết
a]Gọi K là giao điểm của BC và AD
Gọi I là giao điểm của BE và AC
Cách 1:
Ta có: \[\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {A{\rm{E}}B}\] [1] [2 góc nội tiếp cùng chắn cung \[AB\]]
\[\widehat {DBC} + \widehat {ADB} = {90^0}\] [2] [do tam giác BDK vuông tại K]
\[\widehat {AEB} + \widehat {CAE} = {90^0}\] [3] [do tam giác AIE vuông tại I]
Từ [1], [2], [3] \[\Rightarrow \widehat {CB{\rm{D}}} = \widehat {CA{\rm{E}}}\] [cùng phụ với hai góc bằng nhau]
Có \[\widehat {CBD}\] là góc nội tiếp chắn cung CD
\[\widehat {EAC}\] là góc nội tiếp chắn cung CE
\[sđ\overparen{CD}\]= \[sđ\overparen{CE}\]
Suy ra \[CD = CE\]
Cách 2:
Vì \[BC \bot AD\] nên \[\widehat{AKB}=90^0\]
Lại có\[\widehat{AKB}\] là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn cung AB và CD nên
\[\widehat{AKC}=\dfrac{sđ\overparen {DC}+sđ \overparen {BA}}{2}=90^0\]
Suy ra \[sđ\overparen {AB}+sđ \overparen {CD}=180^0\] [1]
Vì \[BE \bot AC\] nên \[\widehat{AIB}=90^0\]
Lại có\[\widehat{AIB}\] là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn cung AB và CE nên
\[\widehat{AIB}=\dfrac{sđ\overparen {CE}+sđ \overparen {AB}}{2}=90^0\]
Suy ra \[sđ\overparen {AB}+sđ \overparen {CE}=180^0\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[sđ \overparen {CE}=sđ \overparen {CD}\]
Suy ra\[ \overparen {CE}=\overparen {CD}\], do đó \[CE=CD.\]
b] Ta có \[\widehat {EBC}\]và \[\widehat {CB{\rm{D}}}\]là góc nội tiếp trong đường tròn \[O\] nên :
\[\widehat {EBC} = {1 \over 2}sđ\overparen{CE}\] và \[\widehat {CB{\rm{D}}} = {1 \over 2}sđ\overparen{CD}\]
Mà\[sđ\overparen{CD}\]= \[sđ\overparen{CE}\]
nên \[\widehat {EBC} = \widehat {CB{\rm{D}}}\] suy ra BK là phân giác góc HBD.
Lại có BK vuông góc với HD [giả thiết H là trực tâm của tam giác ABC]. Suy ra BK vừa là đường cao vừa là đường phân giác của tam giác HBD nên \[BHD\] cân tại \[B\]
c] Vì \[BHD\] cân và \[BK\] là đường cao cũng là đường trung trực của \[HD\]. Điểm \[C\] nằm trên đường trung trực của \[HD\] nên \[CH = CD\]