Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A [AB < AC]. Tia phân giác của góc B cắt AC tại M. Kẻ MN vuông góc với BC \[\left[ {N \in BC} \right]\]
a] Chứng minh rằng tam giác ABM bằng tam giác NBM.
b] Chứng minh AN vuông góc với BM.
c] Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Chứng minh AN là tia phân giác của góc HAM.
d] Gọi I là giao điểm của AH với BM. Chứng minh rằng NI vuông góc với ABN.
Lời giải chi tiết
a] Xét ABM \[[\widehat A = 90^\circ ]\] và NBM \[[\widehat N = 90^\circ ]\]
Ta có: BM [cạnh chung]
\[\widehat {ABM} = \widehat {NBM}\] [BM là tia phân giác của \[\widehat {ABC}\]]
Do đó: ABM = NBM [cạnh huyền góc nhọn].
b] Ta có BA = BN và MA = MN [ABM = NBM]
=> BM là đường trung trực của AN
\[ \Rightarrow BM \bot AN.\]
c] Ta có AM = NM [ABM = NBM]
=> AMN cân tại M
\[ \Rightarrow \widehat {MNA} = \widehat {NAM}\]
Mà \[\widehat {MNA} = \widehat {NAH}\] [hai góc so le trong và AH // MN [vì cùng vuông góc với BC]]
Nên \[\widehat {NAM} = \widehat {NAH} \Rightarrow\] AH là tia phân giác của \[\widehat {HAM}.\]
d] BA = BN [ABM = NBM] => ABN cân tại B.
Mà BI là đường phân giác của ABN [gt]. Nên BI cũng là đường cao của ABN.
Lại có AH là đường cao của ABN [\[AH \bot BN\] tại H] và BI cắt AH tại I [gt]
=> I là trực tâm của ABN => NI là đường cao của ABN \[ \Rightarrow NI \bot AB.\]