Đề bài
Cho hình \[73\], trong đó \[ABCD\] là hình vuông. Chứng minh rằng tứ giác \[EFGH\] là hình vuông.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng:
+]Dấu hiệu nhận biết hình thoi: Tứ giác có \[4\] cạnh bằng nhau là hình thoi.
+] Dấu hiệu nhận biết hình vuông:Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
Lời giải chi tiết
Theo tính chất hình vuông, ta có:
\[AB=BC=CD=DA\]
Theo giả thiết, \[AE = BF = CG = DH\]
Suy ra \[EB=FC=GD=HA\]
\[AEH \] và \[ BFE\] có:
\[AE = BF \] [gt]
\[HA=EB\] [chứng minh trên]
\[\widehat A = \widehat B = {90^o}\]
Do đó \[AEH = BFE \] [c.g.c], suy ra \[HE=EF\] [hai cạnh tương ứng].
Chứng minh tương tự ta có \[EF=FG, FG=GH, GH=HE\]
Tứ giác\[EFGH\] có \[HE = EF = FG = GH\] nên là hình thoi [1]
\[AEH = BFE \] [chứng minh trên] suy ra\[\widehat{AEH} = \widehat{BFE}\] [hai góc tương ứng]
Ta lại có \[\widehat {BEF} + \widehat {BFE} = {90^o}\] nên \[\widehat {AEH} + \widehat {BEF} = {90^o}\] suy ra \[\widehat {HEF} = {90^o}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra\[EFGH\] là hình vuông [hình thoi có một góc vuông là hình vuông].