Câu 1 [2,5 điểm] :
a] Phân tích đa thức sau thành nhân tử \[{x^2} - 6x + 2\left[ {x - 6} \right].\]
b] Tính và rút gọn : \[\dfrac{6}{{x - 2}} - \dfrac{{12}}{{x\left[ {x - 2} \right]}} - \dfrac{7}{x}\]
c] Tìm \[x\] biết : \[10x + 8 - 4x\left[ {5x + 4} \right] = 0\]
Câu 2 [1 điểm] : Một phòng học có kích thước dài \[10m,\] rộng \[6m.\] Người ta lát nền bằng gạch có hình vuông cạnh dài \[50cm.\] Tính số tiền mua gạch để lát nền lớp học đó biết một thùng gạch giá \[120\,000\] đồng. [\[1\] thùng có \[8\] viên gạch]
Câu 3 [1 điểm] : Mức đóng bảo hiểm y tế của các thành viên thuộc hộ gia đình theo Luật Bảo hiểm y tế được tính như sau : Người thứ nhất đóng bằng \[4,5\% \] mức lương cơ sở của người đó; người thứ hai đóng bằng \[70\% \] mức đóng của người thứ nhất. Hiện tại, người thứ nhất có mức lương cơ sở là \[14\,520\,000\] đồng một năm. Hỏi người thứ hai trong gia đình sẽ đóng bảo hiểm y tế là bao nhiêu tiền một năm ?
Câu 4 [1 điểm] : Bạn Việt muốn tính độ dài \[BC\] của một hồ bơi nhưng bạn chỉ đo được độ dài đoạn \[MN = 2m,\] biết \[M\] và \[N\] lần lượt là trung điểm của \[AC\] và \[AB.\] Bạn hãy tính độ dài \[BC\] dùm bạn Việt?
Câu 5 [1 điểm] : Một tủ kệ trang trí hình tam giác đều có chu vi là \[180cm,\] gồm \[2\] tam giác đều nhỏ và \[1\] hình thoi bên trong [như hình bên]. Tính chu vi hình thoi ?
Câu 6 [3,5 điểm] : Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A.\] Gọi \[M,N,H\] theo thứ tự là trung điểm của \[AB,AC\] và \[BC.\]
a] Tứ giác \[BMNC\] và tứ giác \[BMNH\] là hình gì? Vì sao?
b] Gọi \[D\] là điểm đối xứng với \[H\] qua \[N.\] Chứng minh: \[ADCH\] là hình chữ nhật
c] Kẻ \[DE \bot AC,\] gọi \[K\] là trung điểm của \[EC.\] Qua \[K\] vẽ đường thẳng \[d \bot DK.\] Chứng minh: Ba đường thẳng \[AH,MN\] và \[d\] đồng qui [cùng gặp nhau tại 1 điểm]
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Thực hiện: Ban chuyên môn
Câu 1 [VD]:
Phương pháp:
a] Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung để phân tích
b] Qui đồng mẫu các phân thức và rút gọn
c] Phân tích vế trái để đưa về dạng \[A\left[ x \right].B\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left[ x \right] = 0\\B\left[ x \right] = 0\end{array} \right.\]
Cách giải:
a] Phân tích đa thức sau thành nhân tử \[{x^2} - 6x + 2\left[ {x - 6} \right].\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}{x^2} - 6x + 2\left[ {x - 6} \right]\\ = x\left[ {x - 6} \right] + 2\left[ {x - 6} \right]\\ = \left[ {x + 2} \right]\left[ {x - 6} \right]\end{array}\]
b] Tính và rút gọn : \[\dfrac{6}{{x - 2}} - \dfrac{{12}}{{x\left[ {x - 2} \right]}} - \dfrac{7}{x}\]
Điều kiện: \[x \ne \left\{ {0;2} \right\}\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}\dfrac{6}{{x - 2}} - \dfrac{{12}}{{x\left[ {x - 2} \right]}} - \dfrac{7}{x}\\ = \dfrac{{6x}}{{x\left[ {x - 2} \right]}} - \dfrac{{12}}{{x\left[ {x - 2} \right]}} - \dfrac{{7\left[ {x - 2} \right]}}{{x\left[ {x - 2} \right]}}\\ = \dfrac{{6x - 12 - 7x + 14}}{{x\left[ {x - 2} \right]}}\\ = \dfrac{{ - x + 2}}{{x\left[ {x - 2} \right]}}\\ = \dfrac{{ - \left[ {x - 2} \right]}}{{x\left[ {x - 2} \right]}} = - \dfrac{1}{x}\end{array}\]
c] Tìm \[x\] biết : \[10x + 8 - 4x\left[ {5x + 4} \right] = 0\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}10x + 8 - 4x\left[ {5x + 4} \right] = 0\\ \Leftrightarrow 2\left[ {5x + 4} \right] - 4x\left[ {5x + 4} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {2 - 4x} \right]\left[ {5x + 4} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - 4x = 0\\5x + 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = 2\\5x = - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\x = - \dfrac{4}{5}\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy \[x = \dfrac{1}{2};x = - \dfrac{4}{5}\]
Câu 2 [VD]:
Phương pháp:
Tính diện tích phòng học
Tính diện tích 1 viên gạch
Tính số viên gạch cần dùng
Tính giá tiền 1 viên gạch
Tính số tiền mua gạch
Cách giải:
Diện tích phòng học là: \[10.6 = 60{m^2}\]
Đổi \[50cm = 0,5m\]
Diện tích 1 viên gạch là \[0,5.0,5 = 0,25{m^2}\]
Số gạch cần dùng để lát nền là: \[60:0,25 = 240\] viên
Giá tiền 1 viên gạch là: \[120000:8 = 15000\] đồng
Số tiền mua gạch là: \[240.15000 = 3600000\] đồng.
Câu 3 [VD]:
Phương pháp:
Tính mức đóng bảo hiểm y tế của người thứ nhất
Tính mức đóng bảo hiểm y tế của người thứ hai trong gia đình
Cách giải:
Mức đóng bảo hiểm y tế của người thứ nhất là: \[14520000.4,5\% = 653400\] đồng/1 năm
Mức đóng bảo hiểm y tế của người thứ hai là: \[653400.70\% = 457380\] đồng/1 năm
Câu 4 [VD]:
Phương pháp:
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.
Cách giải:
Xét tam giác \[ABC\] có \[MN\] là đường trung bình nên \[MN = \dfrac{1}{2}BC \Rightarrow BC = 2MN = 2.2 = 4m\]
Vậy \[BC = 4m.\]
Câu 5 [VD]:
Phương pháp:
Chu vi hình thoi bằng cạnh nhân 4
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.
Cách giải:
Ta đưa về bài toán: Cho tam giác \[ABC\] đều có chu vi \[180cm,\] các tam giác \[CED,BEF\] là các tam giác đều, \[DEFA\] là hình thoi. Tính chu vi hình thoi \[ADEF\].
Giải: Vì các tam giác \[CED,BEF\] là các tam giác đều nên \[CD = CE = DE = CF = EB = FB\]
Lại có \[ADEF\] là hình thoi nên \[CD = CE = DE = CF = EB = FB = AF = AD\]
Hay \[D,E,F\] lần lượt là trung điểm cạnh \[AC,BC,AB.\]
Suy ra \[AD = \dfrac{{AC}}{2}\]
Lại có \[AB + AC + BC = 180 \Leftrightarrow 3AC = 180\] \[ \Rightarrow AC = 60cm\]
Nên \[AD = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{60}}{2} = 30cm\]
Chu vi hình thoi \[ADEF\] là \[30.4 = 120cm.\]
Câu 6 [VD]:
Phương pháp:
a] Sử dụng: Tứ giác có hai cạnh đối song song là hình thang
Hình thang có hai góc ở đáy bằng nhau là hình thang cân
Tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành
b] Tứ giác có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành
Hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật
c] Lấy \[P\] là trung điểm cạnh \[EP.\] Gọi \[I\] là giao điểm của \[MN\] và \[AH.\] Ta sẽ chứng minh \[IK \bot DK\]
Chỉ ra \[IAPK\] là hình bình hành, \[P\] là trực tâm tam giác \[ADK.\] Từ đó sử dụng quan hệ từ vuông góc đến song sông để chứng minh \[IK \bot DK\].
Cách giải:
a] Tứ giác \[BMNC\] và tứ giác \[BMNH\] là hình gì? Vì sao?
Xét tam giác \[ABC\] có \[MN\] là đường trung bình của tam giác nên \[MN//BC,\,MN = \dfrac{{BC}}{2} = BH\]
Suy ra \[MNCB\] là hình thang. Lại có \[\widehat B = \widehat C\] nên \[MNCB\] là hình thang cân [dhnb]
Xét tứ giác \[MNHB\] có \[MN//HB;MN = HB\] nên \[MNHB\] là hình bình hành [dhnb]
b] Gọi \[D\] là điểm đối xứng với \[H\] qua \[N.\] Chứng minh: \[ADCH\] là hình chữ nhật
Xét tứ giác \[AHCD\] có \[N\] là trung điểm \[AC\left[ {gt} \right]\] và \[N\] là trung điểm \[HD\] [do \[D\] đối xứng với \[H\] qua \[N\]]
Nên hai đường chéo \[AC,HD\] giao nhau tại trung điểm mỗi đường.
Suy ra \[AHCD\] là hình bình hành
Lại có \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] có \[AH\] là đường trung tuyến nên \[AH\] cũng là đường cao.
Suy ra \[AH \bot HC \Rightarrow \widehat {AHC} = {90^0}\]
Từ đó \[AHCD\] là hình chữ nhật [dhnb]
c] Kẻ \[DE \bot AC,\] gọi \[K\] là trung điểm của \[EC.\] Qua \[K\] vẽ đường thẳng \[d \bot DK.\] Chứng minh: Ba đường thẳng \[AH,MN\] và \[d\] đồng qui [cùng gặp nhau tại 1 điểm]
[fb: Thầy Lê Minh Đức]
Lấy \[P\] là trung điểm cạnh \[EP.\] Gọi \[I\] là giao điểm của \[MN\] và \[AH.\] Ta sẽ chứng minh \[IK \bot DK\]
Xét tam giác \[AHC\] có \[IN//HC\] và \[N\] là trung điểm \[AC\] nên \[I\] là trung điểm của \[AH\]
Suy ra \[AI = \dfrac{{AH}}{2}\] và \[AI//DC;AH = DC\] [do \[ADCH\] là hình chữ nhật] nên \[AI = \dfrac{{DC}}{2}\]
Xét tam giác \[EPC\] có \[PK\] là đường trung bình của tam giác \[ \Rightarrow PK//DC,PK = \dfrac{1}{2}DC\]
Xét tứ giác \[AIPK\] có \[AI = PK\left[ { = \dfrac{{DC}}{2}} \right];AI//PK//DC\] nên \[AIPK\] là hình bình hành.
Do đó: \[IK//AP\]
Lại có \[PK//DC\] mà \[DC \bot AD \Rightarrow PK \bot AD\]
Từ đó suy ra \[P\] là trực tâm tam giác \[ADK.\]
Suy ra \[AP \bot DK\] mà \[IK//AP\] nên \[IK \bot DK\]
Do đó \[IK \equiv d\] nên ba đường thẳng \[AH,MN,d\] đồng qui tại điểm \[I\] [đpcm]