Đề bài
Phần I: Trắc nghiệm [2,0 điểm]
Câu 1 : Tập xác định của hàm số \[y = \dfrac{{3x - 1}}{{x - 2}} + 4\sqrt {2 - x} \] là:
A. \[\left[ { - \infty ;2} \right]\]
B. \[\left[ { - \infty ;2} \right]\]
C. \[\left[ {2; + \infty } \right]\]
D. \[\left[ {2; + \infty } \right]\]
Câu 2 : Cho hàm số \[y = - 2{x^2} + 4x + 1\]. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên \[\left[ {1; + \infty } \right]\]
B. Hàm số đồng biến trên \[\left[ { - \infty ;1} \right]\]
C. Hàm số nghịch biến trên \[\left[ {3; + \infty } \right]\]
D. Hàm số đồng biến trên \[\left[ { - \infty ;3} \right]\]
Câu 3 : Để hai đồ thị hàm số \[y = - {x^2} - 4x\] và \[y = {x^2} - m\] có hai điểm chung thì:
A. \[m \ge - 2\] B. \[m > - 2\]
C. \[m \le - 2\] D. \[m < - 2\]
Câu 4 : Phương trình \[\left[ {m - 2} \right]{x^2} - 2x - 1 = 0\] có nghiệm khi:
A. \[m \ge - 1\] B. \[m \le - 1\]
C. \[m \ge 1\] D. \[m \le 1\]
Câu 5 : Phương trình \[\left[ {{x^2} - 3x + 2} \right]\sqrt {x - 3} = 0\] có bao nhiêu nghiệm?
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
Câu 6 : Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a, nội tiếp đường tròn tâm O. Khi đó \[\overrightarrow {AO} .\overrightarrow {OB} \]bằng:
A. \[\dfrac{{{a^2}}}{6}\]
B. \[ - \dfrac{{{a^2}}}{6}\]
C. \[\dfrac{{{a^2}}}{{2\sqrt 3 }}\]
D. \[ - \dfrac{{{a^2}}}{{2\sqrt 3 }}\]
Câu 7 : Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD biết \[A\left[ {1; - 5} \right];\,\,B\left[ {2;3} \right];\,\,C\left[ { - 3;3} \right]\]. Tọa độ tâm I của hình bình hành là:
A. \[\left[ {1;1} \right]\]
B. \[\left[ { - 1;1} \right]\]
C. \[\left[ {1; - 1} \right]\]
D. \[\left[ { - 1; - 1} \right]\]
Câu 8 : Cho \[\sin x = \dfrac{3}{5},\,\,{90^0} < x < {180^0}\]. Giá trị của biểu thức \[P = \tan x.{\cos ^2}x\] bằng:
A. \[\dfrac{{12}}{{25}}\] B. \[\dfrac{{25}}{{12}}\]
C. \[ - \dfrac{{25}}{{12}}\] D. \[ - \dfrac{{12}}{{25}}\]
Phần II. Tự luận [8 điểm]
Câu 1[1,5 điểm] Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \[{x^2} - \left[ {2m + 1} \right]x + {m^2} + 2 = 0\] có hai nghiệm \[{x_1};{x_2}\] phân biệt sao cho \[{x_1}\left[ {{x_2} - 2{x_1}} \right] + {x_2}\left[ {{x_1} - 2{x_2}} \right] + 14 = 0\].
Câu 2 [2,5 điểm] Giải các phương trình sau:
a] \[\left[ {3x - 8} \right]\left| {11 - 3x} \right| = 3{x^2} - 17x + 24\]
b] \[\sqrt {2x - 1} + \sqrt {x - 1} + 22 \\= 3x + 2\sqrt {2{x^2} - 3x + 1} \]
Câu 3[1,5 điểm] Cho hình thang cân ABCD, biết \[CD = 3AB = 3a\] và \[\widehat {ADC} = {45^0}\]. AH vuông góc với CD tại H. Tính các vô hướng \[\overrightarrow {AH} .\left[ {2\overrightarrow {AD} - 3\overrightarrow {CD} } \right];\,\,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BH} \].
Câu 4 [1,5 điểm] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết \[A\left[ {1;1} \right];\,\,B\left[ {0;4} \right];\,\,C\left[ { - 4;2} \right]\].
a] Trên đường thẳng BC lấy điểm M sao cho \[\overrightarrow {BM} = k\overrightarrow {BC} \]. Tìm k để tam giác ACM cân tại M.
b] Tìm điểm D thuộc trục Oy sao cho góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {AD} \] bằng 450
Câu 5 [1,0 điểm] Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \[\left[ {{x^2} + 4x + 3} \right]\left[ {{x^2} + 8x + 14} \right] - m + 2017 = 0\] có nghiệm thỏa mãn \[{x^2} + 6x + 6 \le 0\].
Lời giải chi tiết
Phần I: Trắc nghiệm [2,0 điểm]
|
1. A |
2. B |
3. B |
4. C |
5. B |
|
6. A |
7. D |
8. D |
|
|
Phần II. Tự luận [8 điểm]
Câu 1:
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \[{x_1};{x_2}\]\[ \Leftrightarrow \Delta > 0\]
\[ \Leftrightarrow {\left[ {2m + 1} \right]^2} - 4\left[ {{m^2} + 2} \right] > 0\]
\[\Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 1 - 4{m^2} - 8 > 0 \]
\[\Leftrightarrow 4m - 7 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{7}{4}\].
Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 2\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{x_1}\left[ {{x_2} - 2{x_1}} \right] + {x_2}\left[ {{x_1} - 2{x_2}} \right] + 14 = 0\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - 2x_1^2 + {x_1}{x_2} - 2x_2^2 + 14 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x_1}{x_2} - 2\left[ {{{\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] + 14 = 0\\ \Leftrightarrow - 2{\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^2} + 6{x_1}{x_2} + 14 = 0\\ \Leftrightarrow - 2{\left[ {2m + 1} \right]^2} + 6\left[ {{m^2} + 2} \right] + 14 = 0\\ \Leftrightarrow - 8{m^2} - 8m - 2 + 6{m^2} + 12 + 14 = 0\\ \Leftrightarrow - 2{m^2} - 8m + 24 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\,\,\,\,\,\,\left[ {tm} \right]\\m = - 6\,\,\,\,\left[ {ktm} \right]\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy \[m = 2.\]
Câu 2:
a]
\[\eqalign{
& \left[ {3x - 8} \right]\left| {11 - 3x} \right| = 3{x^2} - 17x + 24 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {3x - 8} \right]\left| {11 - 3x} \right| = \left[ {x - 3} \right]\left[ {3x - 8} \right] \cr
& \Leftrightarrow \left[ {3x - 8} \right]\left[ {\left| {11 - 3x} \right| - x + 3} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
3x - 8 = 0 \hfill \cr
\left| {11 - 3x} \right| - x + 3 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {8 \over 3} \hfill \cr
\left| {11 - 3x} \right| = x - 3 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {8 \over 3} \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x \ge 3 \hfill \cr
9{x^2} - 66x + 121 = {x^2} - 6x + 9 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {8 \over 3} \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x \ge 3 \hfill \cr
8{x^2} - 60x + 112 = 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {8 \over 3} \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x \ge 3 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x = 4 \hfill \cr
x = {7 \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {8 \over 3} \hfill \cr
x = 4 \hfill \cr
x = {7 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {\dfrac{8 }{ 3};4;\dfrac{7}{ 2}} \right\}\]
b]
\[\sqrt {2x - 1} + \sqrt {x - 1} + 22\\= 3x + 2\sqrt {2{x^2} - 3x + 1} \]
ĐKXĐ: \[\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\x - 1 \ge 0\end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{1}{2}\\x \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1\].
Đặt \[t = \sqrt {2x - 1} + \sqrt {x - 1} \,\,\left[ {t \ge 0} \right]\] ta có: \[{t^2} = 2x - 1 + x - 1 + 2\sqrt {\left[ {2x - 1} \right]\left[ {x - 1} \right]} \]\[= 3x - 2 + 2\sqrt {2{x^2} - 3x + 1} \]
\[ \Rightarrow 3x + 2\sqrt {2{x^2} - 3x + 1} = {t^2} + 2\]
Khi đó phương trình trở thành \[t + 22 = {t^2} + 2\]
\[\Leftrightarrow {t^2} - t - 20 = 0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 5\,\,\,\,\,\,\,\left[ {tm} \right]\\t = - 4\,\,\,\left[ {ktm} \right]\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}t = 5 \Rightarrow 3x + 2\sqrt {2{x^2} - 3x + 1} = 27 \\\Leftrightarrow 2\sqrt {2{x^2} - 3x + 1} = 27 - 3x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}27 - 3x \ge 0\\4\left[ {2{x^2} - 3x + 1} \right] = 9{x^2} - 162x + 729\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 9\\{x^2} - 150x + 725 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 9\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 145\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 5\,\,\left[ {tm\,\,ĐKXĐ} \right]\end{array}\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = 5.\]
Câu 3:
\[ + ]\,\,\overrightarrow {AH} .\left[ {2\overrightarrow {AD} - 3\overrightarrow {CD} } \right] \\= 2\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AD} - 3\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {CD} \\= 2AH.AD.\cos \widehat {HAD}\].
Ta có: \[\Delta AHD\] có \[\widehat {ADH} = {45^0} \Rightarrow \Delta AHD\] vuông cân tại H. Suy ra,\[AH = DH\] và \[\widehat {HAD} = {45^0}\]. Kẻ \[BK \bot CD \Rightarrow \Delta BKC\] vuông cân tại \[K\] và \[CK = KB\] \[ \Rightarrow HD= AH = KC=HK=a\]\[ \Rightarrow AD = a\sqrt 2 \].
\[ \Rightarrow \overrightarrow {AH} \left[ {2\overrightarrow {AD} - 3\overrightarrow {CD} } \right] \\= 2.a.a\sqrt 2 .\cos {45^0} = 2{a^2}\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \\= 2{a^2}\]
\[\begin{array}{l} + ]\,\,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BH} \\= \left[ {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HC} } \right]\left[ {\overrightarrow {AH} - \overrightarrow {AB} } \right] \\= A{H^2} - \underbrace {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH} }_0 + \underbrace {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HC} }_0 \\- \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} \\ = A{H^2} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} \\ = A{B^2} - AB.HC.\cos 0 \\= A{B^2} - AB.HC= {a^2} - a.2a\\ = - {a^2}\end{array}\]
Câu 4:
a] Gọi \[M\left[ {a;b} \right]\] ta có: \[\overrightarrow {BM} = \left[ {a;b - 4} \right];\,\,\overrightarrow {BC} = \left[ { - 4; - 2} \right]\]
\[\overrightarrow {BM} = k\overrightarrow {BC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4k\\b - 4 = - 2k\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4k\\b = - 2k + 4\end{array} \right. \\\Rightarrow M\left[ { - 4k; - 2k + 4} \right]\]
Để tam giác ACM cân tại M thì \[MA = MC \Leftrightarrow M{A^2} = M{C^2}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left[ { - 4k - 1} \right]^2} + {\left[ { - 2k + 3} \right]^2} \\= {\left[ { - 4k + 4} \right]^2} + {\left[ { - 2k + 2} \right]^2}\\ \Leftrightarrow 8k + 1 - 12k + 9 = - 32k + 16 - 8k + 4\\ \Leftrightarrow 36k = 10 \Leftrightarrow k = \dfrac{5}{{18}}\\ \Rightarrow M\left[ { - \dfrac{{10}}{9};\dfrac{{31}}{9}} \right]\end{array}\]
Vậy \[M\left[ { - \dfrac{{10}}{9};\dfrac{{31}}{9}} \right]\].
b] Gọi \[D\left[ {0;d} \right] \in Oy\]. Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left[ { - 1;3} \right];\,\,\overrightarrow {AD} = \left[ { - 1;d - 1} \right]\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AD} } \right] = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} }}{{AB.AD}} \\= \dfrac{{1 + 3d - 3}}{{\sqrt {10} \sqrt {1 + {{\left[ {d - 1} \right]}^2}} }} = \dfrac{{3d - 2}}{{\sqrt {10} \sqrt {{d^2} - 2d + 2} }}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{3d - 2}}{{\sqrt {10} \sqrt {{d^2} - 2d + 2} }}\\ \Leftrightarrow \sqrt 5 \sqrt {{d^2} - 2d + 2} = 3d - 2\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3d - 2 \ge 0\\5{d^2} - 10d + 10 = 9{d^2} - 12d + 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d \ge \dfrac{2}{3}\\\left[ \begin{array}{l}d = \dfrac{3}{2}\,\\d = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow d = \dfrac{3}{2} \Rightarrow D\left[ {0;\dfrac{3}{2}} \right]\end{array}\]
Vậy \[D\left[ {0;\dfrac{3}{2}} \right]\].
Câu 5:
\[\begin{array}{l}\left[ {{x^2} + 4x + 3} \right]\left[ {{x^2} + 8x + 14} \right] - m + 2017 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + 6x + 9 - 2x - 6} \right].\\\left[ {{x^2} + 6x + 9 + 2x + 6} \right] - m + 2017 = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} + 6x + 9} \right]^2} - {\left[ {2x + 6} \right]^2} - m + 2017 = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {x + 3} \right]^4} - 4{\left[ {x + 3} \right]^2} - m + 2017 = 0\end{array}\]
Đặt \[t = {\left[ {x + 3} \right]^2} \ge 0\], khi đó phương trình trở thành \[{t^2} - 4t - m + 2017 = 0 \]\[\,\Leftrightarrow {t^2} - 4t + 2017 = m\].
Ta có: \[{x^2} + 6x + 6 \le 0 \]
\[\Leftrightarrow {x^2} + 6x + 9 \le 3 \]
\[\Leftrightarrow {\left[ {x + 3} \right]^2} \le 3 \Leftrightarrow t \le 3\]
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \[f\left[ t \right] = {t^2} - 4t + 2017\,\,\left[ {0 \le t \le 3} \right]\] và đường thẳng \[y = m\] song song với trục hoành.
Xét hàm số \[f\left[ t \right] = {t^2} - 4t + 2017\,\,\left[ {t \le 3} \right]\] ta có BBT:
Dựa vào BBT ta có: để phương trình có nghiệm \[t \in \left[ {0;3} \right]\] thì \[2013 \le m \le 2017\].
Vậy \[m \in \left[ {2013;2017} \right]\].
Xem lời giải chi tiết đề thi học kì 1 tại Tuyensinh247.com