Đề bài
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, BC = b. Xét hai tia At, Ct cùng chiều và cùng vuông góc với mp[ABC]. Lấy điểm M thuộc At, N thuộc Ct [M A, N C]. Đặt AM = m, CN = n.
a] Tính góc giữa các mặt phẳng [MBD] và [NBD] với mặt phẳng [ABCD].
b] Tính góc giữa hai mặt phẳng [MBD] và [NBD]. Tìm hệ thức giữa a, b, m, n để hai mặt phẳng đó vuông góc.
c] Khi a = b và mp[MBD] vuông góc với mp[NBD], hãy tính đường cao OI của tam giác MON [trong đó O là giao điểm của AC và BD], từ đó suy ra hai mặt phẳng [BMN] và [DMN] vuông góc với nhau.
Lời giải chi tiết
a] Kẻ \[AH \bot B{\rm{D}}\]. Do \[MA \bot \left[ {ABC{\rm{D}}} \right]\] nên \[MH \bot B{\rm{D}}\] [định lí ba dường vuông góc].
Ta có MAH là tam giác vuông tại A nên \[\widehat {MHA}\] là góc giữa mp[MBD] với mp[ABCD]. Đặt \[\widehat {MHA} = \alpha \] thì
\[\eqalign{ & \tan \alpha = {{MA} \over {AH}},MA = m \cr & AH = {{ab} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr & \Rightarrow \tan \alpha = {{m\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {ab}} \cr} \]
Vậy góc giữa mặt phẳng [MBD] và mặt phẳng [ABCD] là α mà
\[\tan \alpha = {{m\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {ab}}\]
Tương tự, ta có \[\widehat {NKC}\] là góc giữa mp[NBD] với mp[ABCD] và đặt \[\widehat {NKC} = \beta \] thì
\[\tan \beta = {{n\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {ab}}\]
Vậy góc giữa mặt phẳng [NBD] và mặt phẳng [ABCD] là β mà
\[\tan \beta = {{n\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {ab}}\]
b] Kẻ Hx song song với KN, do AH // KC và At, Ct nằm về một phía của [ABCD] nên \[\widehat {MH{\rm{x}}}\] hoặc \[{180^0} - \widehat {MH{\rm{x}}}\] là góc giữa hai mặt phẳng [MBD] và [NBD].
Đặt \[\widehat {MH{\rm{x}}} = \gamma \] thì \[\gamma = {180^0} - \left[ {\alpha + \beta } \right]\]
\[\eqalign{ & \tan \gamma = - tan\left[ {\alpha + \beta } \right] = {{\tan \alpha + \tan \beta } \over {\tan \alpha \tan \beta - 1}} \cr & = {{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \left[ {m + n} \right]ab} \over {mn\left[ {{a^2} + {b^2}} \right] - {a^2}{b^2}}} \cr} \]
Vậy góc giữa hai mặt phẳng [MBD] và [NBD] là φ mà
\[\tan \varphi = {{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \left[ {m + n} \right]ab} \over {\left| {mn\left[ {{a^2} + {b^2}} \right] - {a^2}{b^2}} \right|}}\]
Từ đó, suy ra mặt phẳng [MBD] và mặt phẳng [NBD] vuông góc khi và chỉ khi
\[mn\left[ {{a^2} + {b^2}} \right] - {a^2}{b^2} = 0\] hay \[mn = {{{a^2}{b^2}} \over {{a^2} + {b^2}}}\].
c]
Khi a = b thì H K O và \[mp\left[ {MB{\rm{D}}} \right] \bot mp\left[ {NB{\rm{D}}} \right]\] tức là \[mn = {{{a^2}} \over 2}\].
Gọi OI là đường cao của tam giác vuông OMN.
Ta có
\[\eqalign{ & OI = {{2{{\rm{S}}_{MON}}} \over {MN}} \cr & 2{{\rm{S}}_{MON}} = 2\left[ {{S_{ACNM}} - \left[ {{S_{AM{\rm{O}}}} + {S_{CNO}}} \right]} \right] \cr & = 2\left[ {{1 \over 2}\left[ {m + n} \right]a\sqrt 2 - {1 \over 2}.{{a\sqrt 2 } \over 2}m - {1 \over 2}.{{a\sqrt 2 } \over 2}n} \right] \cr & = {{a\sqrt 2 } \over 2}\left[ {m + n} \right] \cr & MN = \sqrt {{{\left[ {m - n} \right]}^2} + 2{{\rm{a}}^2}} \cr & = \sqrt {{{\left[ {m - n} \right]}^2} + 4mn} \cr & = m + n \cr} \]
Từ đó \[OI = {{a\sqrt 2 } \over 2}\]
Vậy BID là tam giác vuông tại I.
Mặt khác \[B{\rm{D}} \bot \left[ {MACN} \right]\] nên \[B{\rm{D}} \bot MN\] ; kết hợp với \[OI \bot MN\] ta có \[MN \bot \left[ {BI{\rm{D}}} \right]\].
Vì \[\widehat {BI{\rm{D}}} = {90^0}\] nên hai mặt phẳng [BMN] và [DMN] vuông góc với nhau.