Đề bài
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O, O lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF; \[{G_1},\,{G_2}\] lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABE. Chứng minh rằng:
a] OO song song với mặt phẳng [ADF] và [BCE];
b] \[{G_1}{G_2}\] song song với mặt phẳng [CEF].
Lời giải chi tiết
a] OO là đường trung bình của tam giác BDF suy ra OO // DF.
Mà \[DF \subset \left[ {ADF} \right] \Rightarrow OO'//\left[ {ADF} \right].\]
OO là đường trung bình của tam giác ACE suy ra OO // CE.
Mà \[CE \subset \left[ {BCE} \right] \Rightarrow OO'//\left[ {BCE} \right].\]
b] Gọi I là trung điểm của AB thì I thuộc đường thẳng \[{G_1}D\] và đường thẳng \[{G_2}E.\]
Xét tam giác IDE. Ta có:
\[{{I{G_1}} \over {ID}} = {{I{G_2}} \over {IE}} = {1 \over 3} \Rightarrow {G_1}{G_2}//ED.\]
Do đường thẳng DE nằm trong mặt phẳng [CEF] suy ra \[{G_1}{G_2}//\left[ {CEF} \right].\]