Đề bài
Cho cấp số nhân \[[{u_n}]\] và cho các số nguyên dương m, k với \[m < k.\] Chứng minh rằng
\[\left| {{u_k}} \right| = \sqrt {{u_{k - m}}.{u_{k + m}}} .\]
Áp dụng. Hãy tìm một cấp số nhân với công bội âm, có 7 số hạng, số hạng thứ hai bằng 2 và tích của số hạng đầu với số hạng cuối bằng 18.
Lời giải chi tiết
Kí hiệu q là công bội của cấp số nhân \[[{u_n}]\]. Xét hai trường hợp sau :
\[ - \] Trường hợp 1 : \[q = 0.\] Khi đó \[{u_n} = 0\] với mọi \[n \ge 2.\] Vì thế, hiển nhiên ta có điều cần chứng minh.
\[ - \] Trường hợp 2 : \[q \ne 0.\] Khi đó
\[\begin{array}{l}
{u_{k - m}} = {u_1}.{q^{k - m - 1}} = \dfrac{{{u_1}.{q^{k - 1}}}}{{{q^m}}} = \dfrac{{{u_k}}}{{{q^m}}}\\
{u_{k + m}} = {u_1}.{q^{k + m - 1}} = {u_1}.{q^{k - 1}}.{q^m} \\= {u_k}.{q^m}
\end{array}\]
Từ đó suy ra \[{u_{k - m}}.{u_{k + m}} = u_k^2\] hay \[\left| {{u_k}} \right| = \sqrt {{u_{k - m}}.{u_{k + m}}} \]
Áp dụng. Với mỗi \[n \in \left\{ {1,2,3,4,5,6,7} \right\},\] kí hiệu \[{u_n}\] là số hạng thứ n của cấp số nhân cấn tìm. Theo giả thiết của bài ra, ta có \[{u_3} = 2\] và \[{u_1}.{u_7} = 18.\]
Vì cấp số nhân cần tìm có công bội âm và \[{u_3} > 0\] nên \[{u_4} < 0\]. Do đó, áp dụng kết quả đã chứng minh ở trên cho \[m = 3\] và \[k = 4,\] ta được
\[{u_4} = - \sqrt {{u_1}.{u_7}} = - \sqrt {18} = - 3\sqrt 2 .\]
Suy ra \[q = {{{u_4}} \over {{u_3}}} = - {{3\sqrt 2 } \over 2}.\] Do đó
\[\eqalign{
& {u_2} = {{{u_3}} \over q} = - {{2\sqrt 2 } \over 3},{u_1} = {{{u_2}} \over q} = {4 \over 9},\cr&{u_5} = {u_4},q = 9,{u_6} = {u_5}.q = - {{27\sqrt 2 } \over 2}, \cr
& {u_7} = {u_6}.q = {{81} \over 2} \cr} \]
Vậy, cấp số nhân cần tìm là : \[{4 \over 9}, - {{2\sqrt 2 } \over 3},2, - 3\sqrt 2 ,9, - {{27\sqrt 2 } \over 2},{{81} \over 2}.\]