Đề bài
Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 3600 bản in trong một giờ. Chi phí để vận hành một máy trong mỗi lần in là 50 nghìn đồng. Chi phí để n máy chạy trong một giờ là 10[6n + 10] nghìn đồng.
Hỏi nếu in 50000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy để được lãi nhiều nhất?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Lập hàm số chi phí cần bỏ ra theo ẩn là số máy in sử dụng.
- Số lãi có được nhiều nhất khi chi phí bỏ ra là ít nhất nên cần đi tìm GTNN của hàm số trên.
Lời giải chi tiết
Gọi x là số máy in được sử dụng [x nguyên, 1 x 8]
Một giờ, mỗi máy in được 3600 bản nên x máy in được 3600x bản.
Khi đó, thời gian in 50000 tờ quảng cáo là:
\[{{50000} \over {3600x}}\,[h] = {{125} \over {9x}}\,[h]\]
Tổng chi phí để in 50000 tờ quảng cáo là:
\[f[x] = {{125} \over {9x}}[6x + 10].10 + 50x\][nghìn đồng]
Số lãi sẽ nhiều nhất nếu chi phí ít nhất
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f[x] trên [1, 8]
Ta có:
\[\eqalign{
& f[x] = {{2500} \over 3} + 50x + {{12500} \over {9x}};x \in {\rm{[}}1,\,8{\rm{]}} \cr
& f'[x] = 50 - {{12500} \over {9{x^2}}} = {{50[9{x^2} - 250]} \over {9{x^2}}} \cr
& f'[x] = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt {{{250} \over 9}} \approx 5,3 \cr} \]
Bảng biến thiên:
Trên [1, 8] đạt giá trị nhỏ nhất tại \[x = \sqrt {{{250} \over 9}} \]
Vì \[x\] nguyên nên khi sử dụng 5 máy thì thì thu được nhiều lãi nhất.
Chú ý:
Trong bài toán này, vì số máy in chỉ thuộc từ 1 đến 8 nên các em có thể thay trực tiếp x=1,2,...,8 và hàm số và tìm GTNN.