Đề bài
Cho A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số
\[4 + \left[ {3 + \sqrt 3 } \right]i\] \[2 + \left[ {3 + \sqrt 3 } \right]i\]\[1 + 3i\] \[3 + i\]
Chứng minh rằng bốn điểm đó cùng nằm trên một đường tròn.
Lời giải chi tiết
Chỉ cần chứng minh các góc lượng giác [CA,CB], [DA, DB] có số đo bằng nhau [sai khác \[k\pi, \;k\in Z\] ] [h.4.12]
Ta có \[\overrightarrow {CA} \] biểu diễn số phức \[3 + \sqrt 3 i\],\[\overrightarrow {CB} \] biểu diễn số phức \[1 + \sqrt 3 i\] nên số đo góc [CA, CB] là một acgumen của \[{{1 + \sqrt 3 i} \over {3 + \sqrt 3 i}}\] cũng là một acgumen của \[\left[ {1 + \sqrt 3 i} \right]\left[ {3 - \sqrt 3 i} \right] = 2\sqrt 3 \left[ {\sqrt 3 + i} \right]\]
Ta có \[\overrightarrow {DA} \] biểu diễn số phức \[1 + [2 + \sqrt 3 ]i\],\[\overrightarrow {DB} \] biểu diễn số phức \[ - 1 + [2 + \sqrt 3 ]i\] nên số đo góc [DA, DB] là một acgumen của \[{{ - 1 + [2 + \sqrt 3 ]i} \over {1 + [2 + \sqrt 3 ]i}}\] cũng là một acgumen của
\[\left[ { - 1 + \left[ {2 + \sqrt 3 } \right]i} \right]\left[ {1 - \left[ {2 + \sqrt 3 } \right]i} \right] \]
\[= 2\left[ {\sqrt 3 + 2} \right]\left[ {\sqrt 3 + i} \right]\]
Rõ ràng số này số \[2\sqrt 3 [\sqrt 3 + i]\] có cùng acgumen [ sai khác \[k2\pi ,k \in Z\]]
.com