Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Từ M vẽ đường thẳng Mx // AC cắt AB tại E,
My // AB cắt AC tại F. Chứng minh:
a] \[ME = MF\];
b] AM là trung trực của EF.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba thì: Hai góc đồng vị bằng nhau
Điểm thuộc đường trung trực của 1 đoạn thẳng thì cách đều 2 đầu mút
Lời giải chi tiết
a] Mx // AC [gt] \[ \Rightarrow \widehat {{EMB}} = \widehat {C}\] [đồng vị]; tương tự My // AB \[ \Rightarrow {\widehat {FMC}} = \widehat B\] mà \[\widehat B = \widehat C\] [gt]
\[\widehat B = \widehat C = {\widehat {EMB}} = {\widehat {FMC}},\] lại có MB = MC [gt]
Do đó \[\Delta BME = \Delta CMF\] [g.c.g]
\[ \Rightarrow ME = MF\] và \[BE = CF.\]
b] Ta có: \[AB = CA\] [gt]; \[BE = CF\] [cmt]
\[ \Rightarrow AB - BE = AC - CF\] hay \[A{\rm{E}} = AF\].
Lại có \[ME = MF\] [cmt]. Do đó AM là đường trung trực của EF.