Đề bài
Gọi M, N theo thứ tự là các trung điểm của hai đáy AD và BC của hình thang ABCD. Từ điểm O tùy ý thuộc đoạn MN, kẻ đường thẳng song song với đáy hình thang, đường thảng này cắt các cạnh bên của hình thang tại E và F. Chứng minh rằng O là trung điểm của EF.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
Diện tích hình thang bằng nửa tích chiều cao với tổng hai đáy
Các tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau
Lời giải chi tiết
Ta có MA = MD, NB = NC [gt] và \[AD// BC.\]
Ta có:
\[{S_{AMNB}} = {S_{DMNC}}\]
[các hình thang có các đáy bằng nhau và chung đường cao]
Lại có \[{S_{AEM}} = {S_{DFM}}\] [đáy AM = DM và đường cao từ E và F bằng nhau vì \[EF// AD\] ].
Tương tự \[{S_{BEN}} = {S_{NFC}}\]
\[ \Rightarrow {S_{AMNB}} - \left[ {{S_{AEM}} + {S_{BEN}}} \right]\]\[\, = {S_{DMNC}} - \left[ {{S_{BEN}} + {S_{NFC}}} \right]\]
Hay \[{S_{EMN}} = {S_{FMN}} \Rightarrow EP = FQ\]
Ta có \[\widehat {EOP} = \widehat {QOF}\] [đối đỉnh] và EP = FQ [cmt],
\[\widehat {EPO} = \widehat {FQO} = {90^ \circ }\]
Do đó \[\Delta EPO = \Delta FQO\left[ {ch - gn} \right] \]
\[\Rightarrow OE = OF\] hay O là trung điểm của EF.