Đề bài
Câu 1[3 điểm]. Hãy chọn kết quả đúng
1.Trong hình 60a, \[\sin \alpha \] bằng
[A] \[\dfrac{5}{4}\] [B] \[\dfrac{5}{3}\]
[C] \[\dfrac{4}{5}\] [D] \[\dfrac{3}{5}\]
2. Trong hình 60b, cos C bằng:
[A] \[\dfrac{{AB}}{{AC}}\] [B] \[\dfrac{{AH}}{{AC}}\]
[C] \[\dfrac{{AB}}{{BC}}\] [D] \[\dfrac{{CH}}{{AC}}\]
3. Cho hai góc nhọn \[\alpha \] và \[\beta \] phụ nhau. Khi đó ta có:
[A] \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta = 1\]
[B] \[\sin \alpha = \cos \beta \]
[C] \[\tan \alpha = \cot \left[ {{{90}^o} - \beta } \right]\]
[D] \[\sin \alpha = \cos \left[ {{{90}^o} - \beta } \right]\]
Câu 2[3 điểm]. Đường cao MQ của tam giác vuông MNP chia cạnh huyền NP thành hai đoạn \[NA = 3\] và \[PQ = 6.\] Hãy so sánh cot N và cot P. Tỉ số nào lớn hơn và lớn hơn mấy lần ?
Câu 3[4 điểm]. Một em học sinh đứng ở mặt đất cách tháp ăng ten 150m. Biết rằng em nhìn thấy đỉnh tháp ở góc 20oso với đường nằm ngang và khoảng cách từ mắt em đến mặt đất là 1m. Hãy tính chiều cao của tháp.
Lời giải chi tiết
Câu 1:
Phương pháp giải :
1. Áp dụng \[\sin \alpha = \dfrac{{cạnh\,{\rm{ }}đối}}{{cạnh\,{\rm{ }}huyền}}\]
2. Áp dụng \[\cos C = \dfrac{{cạnh\,{\rm{ }}kề}}{{cạnh{\rm{ }}\,huyền}}\]
3. Vận dụng kiến thức : Hai góc \[\alpha \] và \[\beta \] phụ nhau \[\left[ {\alpha + \beta = {{90}^o}} \right]\]. Ta có:\[\sin \alpha = \cos \beta ;\,\,\cos \alpha = \sin \beta ;\] \[\,\tan \alpha = \cot \beta ;\,\,\cot \alpha = \tan \beta \].
Lời giải :
1. \[\sin \alpha = \dfrac{{cạnh{\rm{ }}\,đối}}{{cạnh{\rm{ }}\,huyền}} = \dfrac{4}{5}\]
Chọn C.
2. \[\cos C = \dfrac{{cạnh\,{\rm{ }}kề}}{{cạnh{\rm{ }}\,huyền}} = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{HC}}{{AC}}\]
Chọn D.
3. Hai góc nhọn \[\alpha \] và \[\beta \] phụ nhau thì \[\sin \alpha = \cos \beta \]
Chọn B.
Câu 2:
Phương pháp giải :
- Áp dụng tỉ số lượng giác \[\cot \alpha = \dfrac{{cạnh\,{\rm{ }}kề}}{{cạnh\,{\rm{ }}đối}}\] tìm \[\cot N\] và \[\cot P.\]
- So sánh và tìm tỉ số \[\dfrac{{\cot N}}{{\cot P}}\] để trả lời câu hỏi tỉ số lớn hơn mấy lần.
Lời giải :
Tam giác vuông \[MNQ\] có :\[\cot N = \dfrac{{NQ}}{{MQ}} = \dfrac{3}{{MQ}}\]
Tam giác vuông \[MPQ\] có : \[\cot P = \dfrac{{QP}}{{MQ}} = \dfrac{6}{{MQ}}\]
Vì \[MQ\] là đường cao của \[\Delta MNP\] nên độ dài \[MQ\] cố định và \[MQ \ne 0.\]
Mà \[\dfrac{3}{{MQ}} < \dfrac{6}{{MQ}} \Rightarrow \cot N < \cot P.\]
Xét tỉ số \[\cot N:\cot P = \dfrac{3}{{MQ}}:\dfrac{6}{{MQ}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\] \[ \Rightarrow \cot P = 2.\cot N\]
Vậy \[\cot P\] lớn hơn \[\cot N\] và lớn hơn gấp \[2\] lần.
Câu 3:
Phương pháp giải :
- Vẽ hình biểu diễn các thông tin của bài toán.
- Chiều cao của tháp ăng-ten bằng tổng độ dài của \[BC\] và \[AB.\]
- Tìm độ dài \[BC\] dựa vào kiến thức : Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông này bằng cạnh góc vuông kia nhân tang góc đối.
Lời giải :
Giả sử khoảng cách từ em học sinh đến tháp ăng-ten là đoạn \[AE;\] mắt em là điểm \[D\] thì chiều cao của tháp là đoạn \[AC.\]
Ta có \[DB = AE\] [đều là khoảng cách từ em học sinh đến tháp ăng-ten]
Tam giác vuông \[ABD\] có : \[BC = BD.\tan \widehat {CDB} \]\[= 150.\tan {20^o} \approx 54,6m.\]
Vậy chiều cao của tháp là : \[AC = BC + CA \]\[= 54,6 + 1 = 55,6[m].\]