Đề bài
Câu 1. [2,5 điểm]
a] Cho tập \[A,B\] lần lượt là tập xác định của hàm số \[f\left[ x \right] = \sqrt {x - 6} \] và \[g\left[ x \right] = \dfrac{3}{{2x + 1}}\]. Xác định các tập \[A \cap B,A \cup B,A\backslash B,{C_\mathbb{R}}A\].
b] Cho tập hợp \[C = \left[ { - 3;8} \right]\] và \[D = \left[ {m - 6;m + 3} \right]\]. Với giá trị nào của \[m\] thì \[C \cap D\] là một đoạn thẳng có độ dài bằng 4.
Câu 2.[1,5 điểm]
1] Xét tính chẵn lẻ của hàm số sau: \[y = f\left[ x \right] = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{\left| {2x + 1} \right| + \left| {2x - 1} \right|}}\].
2] Cho đường thẳng \[\left[ d \right]\]: \[y = \left| {3x + 2} \right| - 2\]. Khi tịnh tiến \[\left[ d \right]\] lên trên 1 đơn vị, rồi sang phải 2 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số nào?
Câu 3. [2,5 điểm] Cho hàm số \[y = 3{x^2} - 2x + 3\] có đồ thị là một parabol \[[P]\].
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
b] Tìm tất cả giá trị của \[m\] để đồ thị hàm số \[y = x - m\] cắt [P] tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương.
Câu 4. [3,5 điểm] Cho tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[A\]có \[BC = 6\sqrt 2 cm\]. Gọi \[M,N\] là các điểm thỏa mãn \[\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AN} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC} \].
a] Tính \[\left| {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} } \right|\].
b] Chứng minh rằng \[4\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {AC} + 2\overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \].
c] Gọi D là trung điểm của BC. Tìm tập hợp điểm E thỏa mãn \[\left| {\overrightarrow {EM} + \overrightarrow {EN} - \overrightarrow {ED} } \right| = \dfrac{1}{2}AC\].
Lời giải chi tiết
Câu 1.
a] Ta có \[f\left[ x \right] = \sqrt {x - 6} \Rightarrow \]ĐKXĐ: \[x - 6 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 6\]
\[ \Rightarrow A = \left[ {6; + \infty } \right]\]
\[g\left[ x \right] = \dfrac{3}{{2x + 1}} \Rightarrow \]ĐKXĐ: \[2x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - \dfrac{1}{2}\]
\[ \Rightarrow B = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{1}{2}} \right\}\]
Ta có:\[A \subset B\] nên \[A \cap B = \left[ {6; + \infty } \right]\];\[A \cup B = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{1}{2}} \right\}\];\[A\backslash B = \emptyset \];
\[{C_\mathbb{R}}A = \left[ { - \infty ;6} \right]\].
b] \[C \cap D\] là một đoạn thẳng có độ dài bằng 4 khi và chỉ khi
\[8 - \left[ {m - 6} \right] = 4 \Leftrightarrow m = - 10\]
Câu 2.
a] TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]
Khi đó, \[\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\].
\[\begin{array}{l}f\left[ { - x} \right] = \dfrac{{{{\left[ { - x} \right]}^2} + 1}}{{\left| { - 2x + 1} \right| + \left| { - 2x - 1} \right|}}\\ = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{\left| { - \left[ {2x - 1} \right]} \right| + \left| { - \left[ {2x + 1} \right]} \right|}}\\ = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{\left| {2x - 1} \right| + \left| {2x + 1} \right|}} = f\left[ x \right]\end{array}\]
Vậy hàm số \[y = f\left[ x \right]\] là hàm chẵn.
b] Kí hiệu \[f\left[ x \right] = \left| {3x + 2} \right| - 2\].
Khi tịnh tiến \[\left[ d \right]\] lên trên 1 đơn vị ta được đồ thị \[\left[ {{d_1}} \right]\] của hàm số: \[y = f\left[ x \right] + 1 = \left| {3x + 2} \right| - 1\].
Kí hiệu \[g\left[ x \right] = \left| {3x + 2} \right| - 1\]. Khi tịnh tiến \[\left[ {{d_1}} \right]\] sang phải 2 đơn vị ta được đồ thị \[\left[ {{d_2}} \right]\] của hàm số: \[y = g\left[ {x - 2} \right] = \left| {3\left[ {x - 2} \right] + 2} \right| - 1 = \left| {3x - 4} \right| - 1\].
Câu 3.
a] TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]
Ta có \[ - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{1}{3};\dfrac{{ - \Delta }}{{4a}} = \dfrac{8}{3}\]. Đồ thị hàm số có đỉnh \[I\left[ {\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}} \right]\] và trục đối xứng là \[x = \dfrac{1}{3}\] và hướng bề lõm lên trên. Từ đó ta có hàm số nghịch biến trên \[\left[ { - \infty ;\dfrac{1}{3}} \right]\], đồng biến trên \[\left[ {\dfrac{1}{3}; + \infty } \right]\].
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị nhỏ nhất là \[\dfrac{8}{3}\] khi \[x = \dfrac{1}{3}\].
Ta có: [P] cắt trục tung tại điểm \[\left[ {0;3} \right]\], không cắt trục hoành, \[[P]\] đi qua điểm \[A\left[ {1;4} \right],B\left[ { - \dfrac{1}{3};4} \right]\].
Đồ thị:
b] Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \[d\] và đồ thị \[[P]\] là:
\[\begin{array}{l}3{x^2} - 2x + 3 = x - m\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 3x + 3 - m = 0[1]\end{array}\]
Đồ thị hàm số \[y = x - m\] cắt [P] tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương
\[ \Leftrightarrow \]Phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt dương \[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 4.3.\left[ {3 - m} \right] > 0\\3 - m > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{3}{4}\\m < 3\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy \[\dfrac{3}{4} < m < 3\]
Câu 4.
a] Ta có: \[\Delta ABC\] vuông cân tại A có \[BC = 6\sqrt 2 \] nên \[AB = AC = 6[cm]\].
\[\begin{array}{l}{\left[ {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} } \right]^2} = A{M^2} + 2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN} + A{N^2}\\ = A{M^2} + A{N^2} = \dfrac{1}{4}A{B^2} + \dfrac{1}{{16}}A{C^2}\\ = \dfrac{5}{{16}}A{B^2} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} } \right| = \dfrac{{\sqrt 5 }}{4}AB = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{2}\left[ {cm} \right]\end{array}\]
b] Ta có
\[\begin{array}{l}4\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {AC} + 2\overrightarrow {AB} \\ = 4\left[ {\overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} } \right] - \overrightarrow {AC} + 2\overrightarrow {AB} \\ = \overrightarrow {AC} - 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + 2\overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \end{array}\]
c] Kẻ hình bình hành \[MDNP\]. Ta có
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {EM} + \overrightarrow {EN} - \overrightarrow {ED} = \overrightarrow {EM} + \overrightarrow {DN} \\ = \overrightarrow {ED} + \overrightarrow {DM} + \overrightarrow {DN} = \overrightarrow {ED} + \overrightarrow {DP} = \overrightarrow {EP} \end{array}\]
\[ \Rightarrow \]tập hợp điểm \[E\] cần tìm là đường tròn tâm \[P\] bán kính \[3cm\].