Đề bài
Bài 1 [1,5 điểm]:Thực hiện phép tính:
\[a]\,\,\dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{2}:\dfrac{{ - 1}}{{{2^3}}}\]
\[b]\,\,23\dfrac{1}{3}:\dfrac{{ - 1}}{{{2^2}}} - 13\dfrac{1}{3}:\dfrac{{ - 1}}{{{2^2}}} + 5\sqrt {\dfrac{9}{{25}}} \]
Bài 2 [1,5 điểm]:Cho hàm số \[y = 3x\]
a] Vẽ đồ thị hàm số trên.
b] Điểm \[M[ - 2; - 6]\] có thuộc đồ thị hàm số \[y = 3x\] không? Vì sao?
Bài 3 [2,5 điểm]:Tìm \[x,\,\,y\] biết:
a] \[\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}:x = - 2\]
b]\[7x = 3y\] và \[2x - y = 16\]
c] Một nhân viên văn phòng có thể đánh máy được \[160\] từ trong \[2,5\] phút. Hỏi cần bao nhiêu phút để người đó đánh được \[800\] từ? [giả thiết rằng thời gian để đánh được các từ là như nhau].
Bài 4 [3,5 điểm]:Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \[\angle B = {60^0}\]. Vẽ \[AH \bot BC\] tại \[H\].
a] Tính số đo \[\angle HAB\].
b] Trên cạnh \[AC\] lấy điểm \[D\] sao cho \[AD = AH\]. Gọi \[I\] là trung điểm của cạnh \[HD\]. Chứng minh \[\Delta AHI = \Delta ADI\]. Từ đó suy ra \[AI \bot HD\].
c] Tia \[AI\] cắt cạnh \[HC\] tại điểm \[K\]. Chứng minh \[\Delta AHK = \Delta ADK\], từ đó suy ra \[AB\]//\[KD\].
d] Trên tia đối của tia \[HA\] lấy điểm \[E\] sao cho \[HE = AH\]. Chứng minh \[H\] là trung điểm của \[BK\] và ba điểm \[D,\,\,K,\,\,E\] thẳng hàng.
Bài 5 [1,0 điểm]:
a] Tính: \[\dfrac{1}{{1.3}} + \dfrac{1}{{3.5}} + \dfrac{1}{{5.7}} + ... + \dfrac{1}{{19.21}}\]
b] Chứng minh: \[A = \dfrac{1}{{1.3}} + \dfrac{1}{{3.5}} + \dfrac{1}{{5.7}} \]\[+ ... + \dfrac{1}{{[2n - 1][2n + 1]}} < \dfrac{1}{2}\].
Lời giải chi tiết
Bài 1:
\[\begin{array}{l}a]\,\,\dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{2}:\dfrac{{ - 1}}{{{2^3}}}\,\, \\= \,\,\,\dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{2}:\dfrac{{ - 1}}{8}\,\,\\ = \,\,\,\dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{8}{{ - 1}}\,\, \\= \,\dfrac{3}{2} - [ - 12] = \dfrac{3}{2} + 12 \\= \dfrac{3}{2} + \dfrac{{24}}{2} = \dfrac{{27}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\\b]\,\,23\dfrac{1}{3}:\dfrac{{ - 1}}{{{2^2}}} - 13\dfrac{1}{3}:\dfrac{{ - 1}}{{{2^2}}} + 5\sqrt {\dfrac{9}{{25}}} \\= 23\dfrac{1}{3}:\dfrac{{ - 1}}{4} - 13\dfrac{1}{3}:\dfrac{{ - 1}}{4} + 5.\dfrac{3}{5}\\ = \left[ {23\dfrac{1}{3} - 13\dfrac{1}{3}} \right]:\dfrac{{ - 1}}{4} + 3 \\= 10:\dfrac{{ - 1}}{4} + 3 = 10.\dfrac{4}{{ - 1}} + 3 \\= - 40 + 3 = - 37\end{array}\]
Bài 2:
a] Vẽ hệ trục tọa độ \[Oxy\].
Với \[x = 1\] ta được \[y = 3\]. Điểm \[A\,\,[1\,;\,\,3]\] thuộc đồ thị hàm số \[y = 3x\].
Vậy đường thẳng \[OA\] là đồ thị của hàm số \[y = 3x\].
b] Xét điểm \[M\,[ - 2; - 6]\,\, \Rightarrow x = - 2;\,\,y = - 6\] , thay vào \[y = 3x\] ta được \[ - 6 = 3.[ - 2]\] [thỏa mãn].
Vậy điểm \[M{\kern 1pt} \,[ - 2;\, - 6]\] thuộc đồ thị hàm số \[y = 3x\].
Bài 3:
\[\begin{array}{l}a]\;\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}:x = - 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}:x = - 2 - \dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}:x = \dfrac{{ - 7}}{3}\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}:\dfrac{{ - 7}}{3}\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 2}}{7}\end{array}\]
Vậy \[x = \dfrac{{ - 2}}{7}\].
b] \[7x = 3y\] và \[2x - y = 16\]
Ta có \[7x = 3y\,\, \Rightarrow \,\,\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{7}\,\, \Rightarrow \dfrac{{2x}}{6} = \dfrac{y}{7}\]
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\[\begin{array}{l}\dfrac{{2x}}{6} = \dfrac{y}{7} = \dfrac{{2x - y}}{{6 - 7}} = \dfrac{{16}}{{ - 1}} = - 16\\ \Rightarrow \dfrac{{2x}}{6} = - 16\,\, \Rightarrow \dfrac{x}{3} = - 16\, \Rightarrow x = - 16.3 = - 48\\\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{y}{7} = - 16\,\,\, \Rightarrow y = - 16.7 = - 112\end{array}\]
Vậy \[x = - 48\] và \[y = - 112\].
c] Gọi \[x\] là thời gian cần thiết để người đó đánh được \[800\] từ \[[x > 0]\].
Vì thời gian và số từ đánh được là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có:
\[\dfrac{x}{{2,5}} = \dfrac{{800}}{{160}}\,\,\, \Rightarrow x = \dfrac{{800.2,5}}{{160}} = 12,5\,\,\]
Vậy cần \[12,5\] phút để người đó đánh được \[800\] từ.
Bài 4:
|
GT |
\[\Delta ABC\]vuông tại \[A,\,\,\angle B = {60^0},\,\,AH \bot BC\] tại \[H\] ; \[D \in AC,\,\,AD = AH,\,\,I\] là trung điểm của \[HD\] \[AI\] cắt \[HC\] tại \[K\]; \[E\] thuộc tia đối của tia \[HA;\,\,HE = AH\] |
|
|
KL |
a] \[\angle HAB = ?\] b] \[\Delta AHI = \Delta ADI\,;\,\,\,AI \bot HD\] c] \[\Delta AHK = \Delta ADK\,;\,\,\,AB//KD\] d] \[H\] là trung điểm của \[BK\] ; ba điểm \[D,K,E\] thẳng hàng |
a] Xét \[\Delta AHB\]vuông tại\[H\] ta có:
\[\angle HBA + \angle HAB = {90^0}\] [hai góc phụ nhau]
\[ \Rightarrow \angle HAB = {90^0} - \angle HBA = {90^0} - {60^0} = {30^0}\]
Vậy \[\angle HAB = {30^0}\]
b] Xét \[\Delta AHI\] và \[\Delta ADI\] ta có:
\[AH = AD\,\,[gt]\]
\[IH = ID\][do \[I\] là trung điểm của \[HD\]]
\[AI\] là cạnh chung
Vậy \[\Delta AHI = \Delta ADI\,\,[c.c.c]\]
Suy ra \[\angle HIA = \angle DIA\] [\[2\] góc tương ứng]
Mà \[\angle HIA + \angle DIA = {180^0}\] [\[2\] góc kề bù]
\[ \Rightarrow \,\angle HIA = \angle DIA = {90^0}\]
Do đó: \[AI \bot HD\,\] [đpcm]
c] Vì \[\Delta AHI = \Delta ADI\,\] [cm câu b]
\[ \Rightarrow \angle HAK = \angle DAK\] [\[2\] góc tương ứng]
Xét \[\Delta AHK\] và \[\Delta ADK\] ta có:
\[AH = AD\,\,[gt]\]
\[\angle HAK = \angle DAK\] [cmt]
\[AK\] là cạnh chung
Vậy \[\Delta AHK = \Delta ADK\,\,[c.g.c]\]
\[ \Rightarrow \angle AHK = \angle ADK = {90^0}\] [\[2\] góc tương ứng]
\[ \Rightarrow KD \bot AC\]
Mà \[BA \bot AC\] [do \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\]]
Suy ra \[AB//KD\] [đpcm]
d] Ta có:
\[\begin{array}{l}\angle BAH + \angle HAD = \angle BAD = {90^0}\\ \Rightarrow \angle HAD = {90^0} - \angle BAH = {90^0} - {30^0} = {60^0}\end{array}\]
Lại có \[\angle HAK = \angle DAK\][cmt]
Suy ra \[\angle HAK = \angle DAK = {30^0}\]
Theo chứng câu ta có \[\angle HAB = {30^0}\].
Vậy \[\angle HAB = \angle HAK\]
+] Xét hai tam giác vuông tại \[H\] là \[\Delta ABH\] và \[\Delta AKH\] ta có:
\[\angle BHA = \angle KHA = {90^0}\]
\[AH\] là cạnh chung
\[\angle HAB = \angle HAK\][cmt]
Vậy \[\Delta ABH = \Delta AKH\,\,[c.g.c]\]
\[ \Rightarrow BH = KH\] [\[2\] cạnh tương ứng]
+] Xét \[\Delta ABH\] và \[\Delta EKH\] ta có:
\[BH = KH\] [cmt]
\[\angle BHA = \angle KHE\][\[2\] góc đối đỉnh]
\[AH = HE\,\] [gt]
Vậy \[\Delta ABH = \Delta EKH\,\,[c.g.c]\]
\[ \Rightarrow \angle ABH = \angle EKH\] [\[2\] góc tương ứng]
Mà \[\angle ABH\] và \[\angle EKH\] là hai góc so le trong
Suy ra \[AB//EK\][dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song]
Mà \[AB//KD\] [cm câu c]
Theo tiên đề Ơ-clit thì đường thẳng \[EK\] trùng với đường thẳng \[KD\].
Do đó ba điểm \[D,K,E\] thẳng hàng.
Bài 5:
a] Ta có:
\[\begin{array}{l}\;\;\dfrac{1}{{1.3}} + \dfrac{1}{{3.5}} + \dfrac{1}{{5.7}} + ... + \dfrac{1}{{19.21}}\\ = \dfrac{1}{2} \cdot \left[ {\dfrac{2}{{1.3}} + \dfrac{2}{{3.5}} + \dfrac{2}{{5.7}} + ... + \dfrac{2}{{19.21}}} \right]\\ = \dfrac{1}{2} \cdot \left[ {1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + ... + \dfrac{1}{{19}} - \dfrac{1}{{21}}} \right]\\ = \dfrac{1}{2} \cdot \left[ {1 - \dfrac{1}{{21}}} \right]\\ = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{20}}{{21}} = \dfrac{{10}}{{21}}\end{array}\]
b] Ta có:
\[\begin{array}{l}A = \dfrac{1}{{1.3}} + \dfrac{1}{{3.5}} + \dfrac{1}{{5.7}} + ... + \dfrac{1}{{[2n - 1][2n + 1]}}\\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2} \cdot \left[ {\dfrac{2}{{1.3}} + \dfrac{2}{{3.5}} + \dfrac{2}{{5.7}} + ... + \dfrac{2}{{[2n - 1][2n + 1]}}} \right]\\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2} \cdot \left[ {1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + ... + \dfrac{1}{{2n - 1}} - \dfrac{1}{{2n + 1}}} \right]\\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2} \cdot \left[ {1 - \dfrac{1}{{2n + 1}}} \right]\end{array}\]
Lại có\[1 - \dfrac{1}{{2n + 1}} < 1\]nên suy ra \[A < \dfrac{1}{2}.1\], hay \[A < \dfrac{1}{2}\] [đpcm].
Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 [Đề thi học kì 1] môn Toán 7 tại Tuyensinh247.com