- PHẦN 1
- PHẦN 2
- PHẦN 3
- PHẦN 4
- PHẦN 5
PHẦN 1
Mệnh đề- Tập hợp
Bài 1: Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a] 2 là số chẵn
b] 2 là số nguyên tố
c] 2 là số chính phương
Giải:
Mệnh đề đúng là a và b
Mệnh đề sai là c
Bài 2: Tìm \[x \in D\] để \[P[x]\] đúng trong các trường hợp sau:
a] \[P[x]\]: \[2x + 3 \le 0\]
b] \[P[x]\]: \[{\left[ {2x + 3} \right]^2} \le 0\]
Giải:
a] \[2x + 3 \le 0 \Leftrightarrow x \le - \dfrac{3}{2}\]\[ \Rightarrow D = \left[ { - \infty ; - \dfrac{3}{2}} \right]\]
b]
\[{\left[ {2x + 3} \right]^2} \le 0 \Leftrightarrow 2x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow x = - \dfrac{3}{2} \]\[\Rightarrow D = \left\{ { - \dfrac{3}{2}} \right\}\]
Bài 3: Sử dụng thuật ngữ điều kiện cần, điều kiện đủ để phát biểu định lí:
a] Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác đó là hình thoi có một góc vuông.
b] Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và cho 3.
c] Nếu số tự nhiên \[n\] chia hết cho 2 thì \[{n^2}\] chia hết cho 4.
Giải:
a] Tứ giác ABCD là hình vuông là điều kiện cần và đủ để ABCD là hình thoi có một góc vuông.
b] Số chia hết cho 6 là điều kiện cần và đủ để số đó chia hết cho 2 và cho 3.
c] \[n\] chia hết cho 2 là điều kiện đủ để \[{n^2}\] chia hết cho 4.
\[{n^2}\] chia hết cho 4 là điều kiện cần để \[n\] chia hết cho 2.
Bài 4: Chứng minh định lí Nếu n là số tự nhiên chẵn thì \[{n^2}\] chia hết cho 4
Giải:
Vì n chẵn nên \[n = k[k \in \mathbb{N}]\]. Khi đó \[{n^2} = 4{k^2}\] chia hết cho 4 nên \[{n^2}\] chia hết cho 4.
Bài 5: Chứng minh đinh lí Với mọi số tự nhiên n nếu 3n+2 là số lẻ thì n là số lẻ
Giải:
Giả sử n là số chẵn khi đó \[n = 2k[k \in \mathbb{N}]\]
\[ \Rightarrow 3n + 2 = 3.2k + 2 = 2\left[ {3k + 1} \right]\] chia hết cho 2 nên 3n+2 là số chẵn trái với dữ kiện bài cho. Vậy n lẻ.
Bài 6. Tìm tập hợp các nghiệm thực của phương trình
\[x\left[ {{x^2} - 4} \right]\left[ {x + 1} \right]\left[ {x + 3} \right] = 0\]
Giải:
Cách 1: \[A = \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;2} \right\}\]
Cách 2: \[A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x\left[ {{x^2} - 4} \right]\left[ {x + 1} \right]\left[ {x + 3} \right] = 0} \right\}\]
Bài 7. Tìm tất cả các tập hợp con của tập hợp sau \[A = \left\{ {0;3;5} \right\}\]
Giải:
Tập con của A là: \[\emptyset ;\left\{ 0 \right\};\left\{ 3 \right\};\left\{ 5 \right\};\left\{ {0;3} \right\};\left\{ {3;5} \right\};\left\{ {0;5} \right\};A\]
Bài 8: Hai tập hợp \[A = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 2 \le x \le 2} \right\}\] và \[B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|{x^2} - x - 6 < 0} \right\}\] có bằng nhau không?
Giải:
Ta có:\[B = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 2 < x < 3} \right\}\]
Vì \[ - 2 \in A\] mà \[ - 2 \notin B\] nên \[A \not\subset B\]\[ \Rightarrow A \ne B\]
Bài 9: Cho hai tập hợp \[A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x\left[ {{x^2} - x - 6} \right] = 0} \right\}\] và \[B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|{x^4} - 13{x^2} + 36 = 0} \right\}\]. Tìm \[A \cap B;A \cup B;A\backslash B;B\backslash A\]
Giải:
\[A = \left\{ { - 2;0;3} \right\}\];\[B = \left\{ { - 3; - 2;2;3} \right\}\]
\[A \cap B = \left\{ { - 2;3} \right\}\];\[A \cup B = \left\{ { - 3; - 2;0;2;3} \right\}\];\[A\backslash B = \left\{ 0 \right\}\];\[B\backslash A = \left\{ {2; - 3} \right\}\].
PHẦN 2
Hàm số bậc nhất và bậc hai
Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số
a] \[y = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {x + 6} }}\] \[D = \left[ { - 6; + \infty } \right]\]
b] \[y = \dfrac{3}{{x - 1}}\] \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\]
c] \[y = \sqrt {x - 5} + {x^2} + 1\] \[D = \left[ {5; + \infty } \right]\]
d] \[y = \dfrac{{\sqrt {x + 2} }}{{{x^2} + 4x + 3}}\] \[D = \left[ { - 2; - 1} \right] \cup \left[ { - 1; + \infty } \right]\]
Bài 2: Xét tính chẵn- lẻ hàm số \[y = \left| {x + 2} \right|\].
Giải:
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]
Ta có \[ - x \in D\forall x \in D\] và
\[f\left[ { - x} \right] = \left| {\left[ { - x} \right] + 2} \right|\\ = \left| { - x + 2} \right| \ne \pm \left| {x + 2} \right|\]\[ \Rightarrow \] Hàm số không chẵn không lẻ.
Bài 3. Cho hàm số \[y = x + 2\].
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
b] Tịnh tiến đồ thị trên sang phải 3 đơn vị rồi xuống dưới 1 đơn vị ta được đồ thị của hàm số nào?
c] Vẽ đồ thị hàm số \[y = \left| {x + 2} \right|\].
Giải:
a] a=1 nên hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\]. Đồ thị của hàm số là một đường thẳng qua 2 điểm \[A\left[ {0;2} \right],B\left[ { - 2;0} \right]\].
b] Tịnh tiến đồ thị sang phải 3 đơn vị ta được đồ thị của hàm số \[y = \left[ {x - 3} \right] + 2 = x - 1\].
Tịnh tiến đồ thị này xuống dưới 1 đơn vị ta được đồ thị của hàm số \[y = x - 1 - 1 = x - 2\].
c]
Ta có \[y = \left| {x + 2} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x + 2{\rm{ khi }}x \ge - 2\\ - x - 2{\rm{ khi }}x < - 2\end{array} \right.\]
Vẽ đồ thị hàm số \[y = \left\{ \begin{array}{l}x + 2{\rm{ khi }}x \ge - 2\\ - x - 2{\rm{ khi }}x < - 2\end{array} \right.\] ta được:
Bài 4. Tìm m để hàm số \[y = \left[ {m - 2} \right]x + 5\]:
a] Có đồ thị vuông góc với đường thẳng \[x + 2y + 1 = 0\]
b] Có đồ thị cắt đường thẳng \[y = x + 3\] tại điểm có tung độ bằng \[2\].
c] Đồng biến trên \[\mathbb{R}\] với m nguyên thuộc đoạn \[\left[ {1;5} \right]\].
d] Đồ thị hàm số cắt 2 trục Ox, Oy tại M, N sao cho tam giác OMN cân.
e] \[y > 0\forall x \in \left[ {0;2} \right]\]
Đáp án
a] \[x + 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}\]
Đồ thị hàm số \[y = \left[ {m - 2} \right]x + 5\] vuông góc với đường thẳng \[y = - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {m - 1} \right].\left[ { - \dfrac{1}{2}} \right] = - 1 \\\Leftrightarrow m - 1 = 2 \Leftrightarrow m = 3\]
b]
Thay \[y = 2\] vào phương trình đường thẳng \[y = x + 3\] ta được \[x = - 1\]. Đường thẳng \[y = \left[ {m - 2} \right]x + 5\] cắt đường thẳng \[y = x + 3\] tại điểm có tung độ bằng 2 khi và chỉ khi \[A\left[ { - 1;2} \right]\] thuộc đường thẳng \[y = \left[ {m - 2} \right]x + 5\]\[ \Leftrightarrow \left[ {m - 2} \right]\left[ { - 1} \right] + 5 = 2 \Leftrightarrow m = 5\].
c] Hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\] khi và chỉ khi \[m - 2 > 0 \Leftrightarrow m > 2\].
Do m nguyên thuộc đoạn \[\left[ {1;5} \right]\] nên \[m \in \left\{ {2;3;4;5} \right\}\].
d] Đồ thị cắt 2 trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại M, N. Nên \[M\left[ {\dfrac{5}{{2 - m}};0} \right];N\left[ {0;5} \right]\].
Tam giác OMN cân
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow OM = ON \Leftrightarrow \dfrac{5}{{\left| {m - 2} \right|}} = 5\\\Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 2 = 1\\m - 2 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 1\end{array} \right.\end{array}\]
e] \[y > 0\forall x \in \left[ {0;2} \right] \Leftrightarrow \left[ {m - 2} \right]x + 5 > 0\]\[\forall x \in \left[ {0;2} \right]\][1]
TH1: \[m - 2 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 2\]
\[ \Rightarrow \left[ {m - 2} \right]x + 5 \ge 0 + 5 = 5 > 0\]\[\forall x \in \left[ {0;2} \right]\]
TH2: \[m - 2 < 0 \Leftrightarrow m < 2\]
\[\begin{array}{l}[1] \Leftrightarrow x < - \dfrac{5}{{m - 2}}\forall x \in \left[ {0;2} \right]\\ \Leftrightarrow 2 < - \dfrac{5}{{m - 2}} \Leftrightarrow \dfrac{{2m + 1}}{{m - 2}} < 0\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < m < 2\end{array}\]
Vậy \[m > - \dfrac{1}{2}\] thì \[y > 0\]
Bài 5. Cho của hàm số \[y = {x^2} + 2x - 2\] có đồ thị là một parabol [P] .
a] Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
b] Tìm giao điểm của [P] và đường thẳng d: \[y = x + 4\].
c] Tìm m để đường thẳng \[y = \dfrac{m}{2}\] cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm.
Giải:
a] [P] có đỉnh \[I\left[ { - 1; - 3} \right]\], trục đối xứng\[x = - 1\].
Do \[a = 1 > 0\] nên hàm số đồng biến trên \[\left[ { - 1; + \infty } \right]\] và nghịch biến trên \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\].
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số đi qua điểm \[A\left[ {1;1} \right];B\left[ {0; - 2} \right];C\left[ {2;6} \right]\].
b] Hoành độ giao điểm của [P] và đường thẳng \[y = x + 3\] là nghiệm của phương trình \[{x^2} + 2x - 2 = x + 4\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 2\end{array} \right.\]
Giao điểm của [P] và đường thẳng \[y = x + 3\] là \[M\left[ { - 3; - 1} \right];C\left[ {2;6} \right]\].
c] Đường thẳng \[y = \dfrac{m}{2}\] là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox.
Từ đồ thị ta thấy [P] giao với đường thẳng này tại 2 điểm có hoành độ âm khi và chỉ khi 2 điểm đó nằm bên trái trục Oy. Hay \[ - 3 < \dfrac{m}{2} < - 2 \Leftrightarrow - 6 < m < - 4\].
Bài 6
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \[y = {x^2} - 6x + 5[P]\].
b] Từ đồ thị [P] suy ra đồ thị \[\left[ {{P_1}} \right],\left[ {{P_2}} \right]\]:
\[[{P_1}]:y = \left| {{x^2} - 6x + 5} \right|\]
\[\left[ {{P_2}} \right]:y = {x^2} - 6\left| x \right| + 5\]
c] Từ đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
1]\[\left| {{x^2} - 6x + 5} \right| = m + 1\] 2] \[{x^2} - 6\left| x \right| + 5 = m - 1\]
d] Tìm m để phương trình \[{x^2} - 6x + m - 2 = 0\] có 2 nghiệm phân biệt \[{x_1},{x_2}\] thỏa mãn \[1 < {x_1} < {x_2} < 5\]
Giải
a] Đồ thị hàm số \[y = {x^2} - 6x + 5\] có đỉnh \[I\left[ {3; - 4} \right]\], nhận trục x=3 làm trục đối xứng và đi qua các điểm \[A\left[ {0;5} \right];B\left[ {5;0} \right];C\left[ {1;0} \right]\].
b] Từ đồ thị [P] ta lấy đối xứng qua trục hoành rồi bỏ đi phần đồ thị có tung độ âm thì ta được đồ thị \[\left[ {{P_1}} \right]\].
Từ đồ thị [P] ta bỏ đi phần đồ thị có hoành độ âm rồi lấy đối xứng qua trục tung ta được đồ thị của \[\left[ {{P_2}} \right]\].
c]
1] Hoành độ giao điểm của \[\left[ {{P_1}} \right]\] và đường thẳng \[y = m + 1\] là nghiệm của phương trình \[\left| {{x^2} - 6x + 5} \right| = m + 1\] nên số nghiệm của phương trình \[\left| {{x^2} - 6x + 5} \right| = m + 1\] bằng số giao điểm của đường thẳng \[y = m + 1\] và \[\left[ {{P_1}} \right]\].
2] Hoành độ giao điểm của \[\left[ {{P_2}} \right]\] và đường thẳng \[y = m - 1\] là nghiệm của phương trình \[{x^2} - 6\left| x \right| + 5 = m - 1\] nên số nghiệm của phương trình \[{x^2} - 6\left| x \right| + 5 = m - 1\] bằng số giao điểm của đường thẳng \[y = m - 1\] và \[\left[ {{P_2}} \right]\]
d] Ta có \[{x^2} - 6x + m - 2 = 0 \]\[\Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 = 7 - m\].
Nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đồ thị [P] và đường thẳng \[y = 7 - m\]. Ta có:
Với \[x = 1 \Rightarrow y = 0\]
Với \[x = 5 \Rightarrow y = 0\]
Từ đồ thị ta có đường thẳng \[y = 7 - m\] cắt [P] tại 2 điểm có hoành độ thỏa mãn \[1 < {x_1} < {x_2} < 5\] khi và chỉ khi \[ - 3 < 7 - m < 0\]\[ \Leftrightarrow 7 < m < 10\].
Bài 7: Cho parabol [P]: \[y = {x^2} + \left[ {a + 1} \right]x - 2b\]. Xác định a, b biết [P] cắt trục tung tại điểm có tung độ \[y = 1\] và nhận đường thẳng \[x = - 2\] làm trục đối xứng.
Giải:
[P] cắt trục tung tại điểm có tung độ \[y = 1\] nên ta có:
\[1 = {0^2} + \left[ {a + 1} \right].0 - 2b \Leftrightarrow b = - \dfrac{1}{2}\]
[P] nhận đường thẳng \[x = - 2\] làm trục đối xứng nên \[ - \dfrac{{a + 1}}{2} = - 2 \Leftrightarrow a = 3\]
Vậy \[a = 3;b = - \dfrac{1}{2}\].
Bài 8:
a] Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = 4{x^2} - 4mx + {m^2} - m\] trên \[\mathbb{R}\] bằng 2
b] Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số \[y = - 2{x^2} + 3mx + 5m - {m^2}\] trên \[\mathbb{R}\] bằng 6.
Giải:
a] Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = 4{x^2} - 4mx + {m^2} - m\] trên \[\mathbb{R}\] bằng 2
Do \[a = 4 > 0\] nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất \[y = - m\] tại \[x = \dfrac{m}{2}\].
Khi đó,
\[m = - 2\]
b] Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số \[y = - 2{x^2} + 4mx + 5m - {m^2}\] trên \[\mathbb{R}\] bằng 6.
Do \[a = - 2 < 0\] nên hàm số đạt GTLN \[y = {m^2} + 5m\] tại \[x = m\].
\[ \Rightarrow {m^2} + 5m = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 6\end{array} \right.\]
PHẦN 3
Phương trình Hệ phương trình
Bài 1: Giải và biện luận nghiệm của các phương trình sau theo m
a] \[\left[ {2{m^2} + 1} \right]x - m = x - 5\]
b] \[m\left[ {x - 2m} \right] = x - m - 1\]
Bài 2. Giải và biện luận các phương trình theo m
a] \[\left[ {x - m} \right]\left[ {mx + 2} \right] = 0\]
b] \[\left[ {x - 1} \right]\sqrt {x + 2m} = 0\]
Bài 3. Giải và biện luận các phương trình theo tham số m
a] \[{x^2} + 2mx + 1 = 0\]
b] \[{x^2} - 2mx + m = 0\]
c] \[m{x^2} + 3x + m = 0\]
d] \[{x^2} + 2m\left| x \right| + 1 = 0\]
Bài 4. Tìm m nguyên để phương trình \[{x^2} + 2mx + m - 3 = 0\]
a] Có 2 nghiệm trái dấu.
b] Có 2 nghiệm phân biệt dương.
c] Vô nghiệm.
d] Có nghiệm duy nhất âm.
e] Có 2 nghiệm phân biệt \[{x_1},{x_2}\] thỏa mãn \[{x_1}^2 + {x_2}^2 = 6\]
Bài 5. Biện luận số giao điểm của 2 parabol \[y = {x^2} + 2x + 2\] và \[y = - {x^2} + x - m\] theo tham số m.
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \emptyset \]
Bài 6. Giải phương trình
a] \[\left| {x - 4} \right| = x - 2\]
b] \[{x^2} - 2x - \left| {x - 1} \right| - 3 = 0\]
Bài 7. Giải và biện luận phương trình sau theo m: \[\left| {x + m} \right| = \left| {2x - 2} \right|\]
Bài 8 Giải các phương trình sau
a] \[\dfrac{{2x + 1}}{{3x + 1}} = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}\]
b] \[\dfrac{5}{{x - 2}} = \dfrac{{1 - x}}{{x - 2}} + 2\]
c] \[2 + \dfrac{2}{{x - 1}} = \dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{{x^2} + x - 2}}\].
d] \[{x^8} - 5{x^2} + 2x + 2 = 0\]
e] \[5{x^4} + 24{x^2} - 5 = 0\]
Bài 9. Giải và biện luận các phương trình sau theo m
a] \[\dfrac{{x - 3m}}{{x + 1}} = 0\]
b] \[\dfrac{{mx - {m^2} - 1}}{{x - 2}} = 1\]
c] \[\dfrac{m}{{mx - 1}} - \dfrac{2}{{x - m}} = 1\]
Bài 10. Tìm \[m\] để phương trình \[{x^8} - \left[ {2m + 5} \right]{x^2} + \left[ {{m^2} + 6m + 7} \right]x\]\[ - 3{m^2} - 3 = 0\] [*] có ba nghiệm dương phân biệt.
Bài 11. Giải các phương trình sau
a] \[\sqrt {{x^2} - 1} = x - 2\] [đs: \[S = \emptyset \]]
b] \[\sqrt {x + 8} = \sqrt x + x + 1\][đs: \[S = \left\{ 1 \right\}\]]
c] \[2{x^2} + 2x - \sqrt {4{x^2} + 4x - 1} = 0\][đs: \[S = \left\{ {\dfrac{{ - 1 + \sqrt 3 }}{2};\dfrac{{ - 1 - \sqrt 3 }}{2}} \right\}\]]
d] \[x - 2\sqrt {x + 3} + 5 = 0\][đs: \[S = \emptyset \]]
Bài 12. Giải và biện luận nghiệm phương trình theo tham số m
a] Tìm m để phương trình \[\sqrt {{x^2} + mx + 2} = 2x + 1\] có hai nghiệm phân biệt.[đs: PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m]
b] Tìm m để phương trình \[{\left[ {2x - 1} \right]^2} + m = \sqrt {{x^2} - x + 1} \] có nghiệm.[đs: \[m \le \dfrac{{49}}{{16}}\]]
c] Tìm m để phương trình \[3\sqrt {x - 1} + m\sqrt {x + 1} = 2\sqrt[4]{{{x^2} - 1}}\] có nghiệm.[đs: \[m \le \dfrac{1}{3}\]].
Bài 13:Giải hệ phương trình
a] \[\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 3\\x + 2y = 5\end{array} \right.\]
b] \[\left\{ \begin{array}{l}5x + 2y = - 6\\ - x + y = 2\end{array} \right.\]
c] \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\2xy + x + y = 7\end{array} \right.\]
Đáp án: \[\left[ {2;1} \right];\left[ {1;2} \right];\left[ { - 2; - 3} \right];\left[ {6; - 5} \right]\]
d] \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 32\\xy = 12\end{array} \right.\]
Đáp án: \[\left[ {6;2} \right];\left[ { - 6; - 2} \right]\]
e] \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - xy = 3\\{x^2} + {y^2} + x + y = 8\end{array} \right.\] [đs: [2;1];[1;2]]
f] \[\left\{ \begin{array}{l}x + y + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = - 4\\{x^2} + {y^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = 4\end{array} \right.\] [đs: [-1;-1]
g] \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x = y\\{y^2} - y = x\end{array} \right.\] [đs: [0;0];[2;2]]
h] \[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + 3} + \sqrt {1 - y} = 2\\\sqrt {y + 3} + \sqrt {1 - x} = 2\end{array} \right.\][đs: [1;1];[-3;-3]]
Bài 14. Tìm điều kiện tham số để các hệ sau có nghiệm.
a] \[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1} + \sqrt y = 3\\x + y = 2m\end{array} \right.\]
Đáp án: \[\dfrac{{11}}{4} \le m \le 5\].
b] \[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x + \sqrt y = m\\x\sqrt x + y\sqrt y = {m^3} - 3m\end{array} \right.\]
Đáp án: \[m \ge 2\]
PHẦN 4
Vectơ
Bài 1. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:
a] \[\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {JA} + \overrightarrow {JD} = \overrightarrow 0 \]
b] Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh. \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \].
Bài 2. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao cho \[\overrightarrow {CN} = 2\overrightarrow {NA} \]. K là trung điểm của MN. Phân tích vectơ.
a] \[\overrightarrow {AK} \] theo \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \]
[đs \[\overrightarrow {AK} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AC} \]]
b] \[\overrightarrow {KD} \] theo \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \]
[đs \[\overrightarrow {KD} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \]]
Bài 3. Cho \[\overrightarrow a = \left[ { - 1;0} \right];\overrightarrow b = \left[ { - 1;1} \right];\]\[\overrightarrow c = \left[ {3;4} \right]\].
a] Tìm toạ độ của vectơ \[\overrightarrow d = 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b + 5\overrightarrow c \].
[đs \[\overrightarrow d = [10;23]\]]
b] Tìm 2 số m, n sao cho \[m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + 2\overrightarrow d = \overrightarrow 0 \].
[đs \[m = 66;n = - 46\]]
c] Biểu diễn vectơ \[\overrightarrow a \] theo \[\overrightarrow b \] và \[\overrightarrow c \].
[đs \[\overrightarrow a = \dfrac{4}{7}\overrightarrow b - \dfrac{1}{7}\overrightarrow c \]]
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ, cho các điểm \[A[0;2];B[ - 4;4];C[3;0]\].
a] Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác.
b] Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. [đs: \[G\left[ { - \dfrac{1}{3};2} \right]\]]
PHẦN 5
Tích vô hướng và ứng dụng
Bài 1. Cho tam giác ABC có A[1; 2], B[2; 6], C[9; 8].
a] Tính \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \]. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
[đs: \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 48\]]
b] Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
[đs: Chu vi: \[15 + 5\sqrt 5 \]; DT: 25]
c] Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.
[đs:\[M\left[ {0;\dfrac{{10}}{3}} \right]\]]
d] Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.
[đs: D[6;12]]
e] Tìm toạ độ điểm I thoả \[\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \]
[đs: IPNB là hình bình hành với N là trung điểm của BC, P là trung điểm của AB].
f] Phân tích vectơ \[\overrightarrow {AI} \] theo \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \]
[đs: \[\overrightarrow {AB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \]].
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai vectơ \[\overrightarrow a = \left[ { - 2;3} \right],\overrightarrow b = \left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]\]
a] Tính tích vô hướng và tìm góc giữa hai vectơ\[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \].
[đs: \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = 5;\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \dfrac{{10\sqrt {221} }}{{\sqrt {221} }}\]]
b] Tìm m để vectơ \[\overrightarrow u = m\overrightarrow a - \overrightarrow b \] song song với trục hoành.
[đs: \[m = \dfrac{2}{3}\]]
c] Tìm n để vectơ \[\overrightarrow v = \overrightarrow a + 2n\overrightarrow b \] tạo với vectơ \[\overrightarrow a \] một góc \[45^\circ \].
[đs: n=0]