Trong bài học hôm nay, HocThatGioi sẽ giới thiệu cho có bạn dạng toán mặt cầu ngoại nội tiếp – hướng dẫn và bài tập. Với bài học hôm nay sẽ giúp các bạn tự tin hơn khi gặp những bài toán liên quan đến mặt cầu ngoại – nội tiếp. Cùng HocThatGioi bắt đầu buổi học hôm nay nhé.
Sau đây là phương pháp giải đối với từng trường hợp là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ hay nội tiếp lăng trụ.
Để một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì hình lăng trụ đó phải là hình lăng trụ đứng và có đáy lăng trụ là một đa giác nội tiếp một đường tròn.
Phương pháp tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ:
Gọi O_{1}, O_{2} lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy lăng trụ => O_{1}O_{2} là trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy.
Gọi I là trung điểm của O_{1}O_{2}
=> IA = IB = IC = IA' = IB' = IC'. Suy ra:
Trung điểm I của O_{1}O_{2} là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
Bán kính R= IA = \sqrt{AO_{1}^{2} + IO_{1}^{2}} = \sqrt{AO_{1}^{2} + [\frac{O_{1}O_{2}}{2}]^{2}}
Ví dụ minh hoạ :
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp trong mặt cầu bán kính R = 3cm. Tam giác ABC cân và có diện tích bằng 2 cm^{2}. Diện tích toàn phần của hình hộp đó bằng:
Ta có ABCD là hình chữ nhật => \Delta ABC vuông tại B => nó cũng cân tại B Ta có :
S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.BC = 2 => AB = 2 = BC
\Delta ABC: AC = 2\sqrt{2} => IC = \frac{AC}{2} = \sqrt{2}
\Delta IOC: IO = \sqrt{OC^{2} – IC^{2}} = \sqrt{7}
Suy ra chiều cao của khối hộp là 2\sqrt{7}
Diện tích toàn phần của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là:
S_{tp} = S_{2đáy} + S_{xq} = 2.2^{2} + 4[2.2\sqrt{7}] = 8[1 + 2\sqrt{7}].
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = a, AB= b, AD = c. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp đi qua 8 đỉnh của hình hộp.
Gọi O_{1}O_{2} lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy. Suy ra:
-Trung điểm I của O_{1}O_{2} là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp
Bán kính : R = IA = \sqrt{AO_{1}^{2} + IO_{1}^{2}} = \sqrt{[\frac{AC}{2}]^{2} + [\frac{AA’}{2}]^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.
Khối cầu nội tiếp lập phương cạnh a: bán kính R = \frac{a}{2} .
Đường cao của hình lăng trụ bằng đường kính của hình cầu nội tiếp
Ví dụ minh hoạ:
Gọi V là thể tích khối lập phương, V’ là thể tích khối cầu nội tiếp khối lập phương. Khi đó tỉ số \frac{V}{V’} là ?
Gọi cạnh của hình lập phương là a, vì khối cầu nội tiếp khối lập phương nên đường kính khối cầu bằng cạnh của hình lập phương. Suy ra bán kính khối cầu là R = \frac{a}{2}.
V = a^{3}
V’ = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{\pi a^{3}}{6}
Vậy \frac{V}{V’} = \frac{6}{\pi}
Với phần bài tập tự luyện HocThatGioi sẽ đem đến cho các bạn những câu hơi ở mức vận dụng – vận dụng cao nhưng sẽ có hướng dẫn chi tiết nhé.
Trên đây là bài viết về Dạng toán mặt cầu ngoại nội tiếp lăng trụ – hướng dẫn và bài tập mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương Mặt tròn xoay để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt.
Bài viết khác liên quan đến Mặt tròn xoay
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Các dạng bài toán liên quan đến mặt cầu - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
1. Phương pháp giải
Quảng cáo
a.Mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
+ Để một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì hình lăng trụ đó phải là hình lăng trụ đứng và có đáy lăng trụ là một đa giác nội tiếp một đường tròn.
+ Gọi O1, O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy lăng trụ
⇒ O1O2 là trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy.
Gọi I là trung điểm của O1O2
⇒ IA = IB = IC= IA’ = IB’ = IC’. Suy ra:
- Trung điểm I của O1O2 là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
- Bán kính: R = IA
=
Phương pháp riêng cho hình lập phương và hình hộp chữ nhật:
-Tâm đường tròn ngoại tiếp chính là trung điểm của một đường chéo của hình hộp [giao các đường chéo].
- Bán kính
R =
b. Mặt cầu nội tiếp lăng trụ
- Khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a: bán kính R =
- Đường cao của hình lăng trụ bằng đường kính của hình cầu nội tiếp.
Quảng cáo
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ nội tiếp trong mặt cầu bán kính R = 3cm. Tam giác ABC cân và có diện tích bằng 2cm. Diện tích toàn phần của hình hộp đó bằng:
A. 8cm2 B. 24cm2
C. 8√7cm2 D. 8[1 + 2√7] cm2
Hướng dẫn giải:
+ Ta có ABCD là hình chữ nhật nên tam giác ABC vuông tại B.
Theo giả thiết tam giác ABC cân nên tam giác ABC vuông cân tại B ⇒ AB= BC
+ Diện tích tam giác ABC là
SABC =
⇒ AB = BC = 2
Tam giác ABC có: AC = 2√2 ⇒ IC = AC/2 = √2
Xét tam giác IOC:
IO =
+ Suy ra chiều cao của khối hộp là
+ Diện tích toàn phần của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là: Stp = S2 đay + Sxq
= 2.22 + 4.2.2√7 = 8 + 16√7 = 8[1 + 2√7]
Chọn D.
Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = a,
BC = a√2 . Góc giữa đường chéo AC’ của mặt bên [A’C’CA] với mặt đáy bằng 300. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.
Hướng dẫn giải:
Gọi O1, O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy.
+ Vì tam giác ABC vuông tại C nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là O1 – trung điểm của cạnh huyền AB.
Tương tự ta có, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’ là O2 – trung điểm của cạnh huyền A’B’.
Gọi I là trung điểm của O1O2 là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, bán kính mặt cầu là IA.
+ Xác định góc của đường AC’ và [ABC]:
+ Xét tam giác ACC’:
+ Xét tam giác ABC có:
+ xét tam giác AIO1 có:
Thể tích khối cầu là:
V =
Chọn D.
Quảng cáo
Ví dụ 3. Một khối cầu nội tiếp trong hình lập phương có chu vi đáy là 4cm. Diện tích của mặt cầu là:
A. S = 2π B. S = 4π
C. S = 3π D. S = π
Hướng dẫn giải:
Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a.
Chu vi đáy của hình lập phương là P = 4a = 4 cm
⇒ độ dài một cạnh là a = 1 cm
Bán kính hình cầu nội tiếp lập phương là
r =
= cm
Diện tích của mặt cầu là: S = 4π[]2 cm2
Chọn D
Ví dụ 4. Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống trong hộp chiếm bao nhiêu % của chiếc hộp.
A. 65, 09%. B. 47,64%. C. 82,55 %. D. 83,3%.
Hướng dẫn giải:
Gọi đường kính quả bóng bàn là d. Khi đó kích thước của hình hộp chữ nhật là d; d; 3d.
Bán kính của mỗi quả bóng là r =
Thể tích của hình hộp chữ nhật là:
V1 = d.d.3d = 3d3.
Thể tích của ba quả bóng bàn là
Thể tích của phần không gian còn trống trong hộp là:
V3 = V1 - V2 = 3d3 -
Phần không gian còn trống trong hộp chiếm:
Chọn B.
Ví dụ 5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi R1, R2, R3 lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương, bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương và bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. R22 = R1.R3 B. R22 = R12 + R32
C. R12 = R22 + R32 D. R32 = R1.R2 .
Hướng dẫn giải:
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, gọi M là trung điểm của AB và I là trung điểm của AC’.
Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là :
R1 = IA =
Bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương là : R2 = IO
Bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương là : R3 = IM
Ta có R1, R2, R3 như trên hình vẽ.
Kiểm tra ta thấy: R12 = R22 + R32
Chọn C.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Phương pháp xác định mặt cầu cực hay
- Phương pháp tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay
- Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp cực hay
- Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay
- Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay
- Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải
- Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay
- Dạng bài tập về hình trụ, mặt trụ cực hay, có lời giải
- Dạng bài tập hình trụ nội tiếp, ngoại tiếp hình cầu, nón, lập phương cực hay
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
mat-non-mat-tru-mat-cau.jsp