Shortlink: //wp.me/P8gtr-13S
1. Định nghĩa:
Cho V và V là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Ánh xạ gọi là 1 ánh xạ tuyến tính [linear transformations] hay đồng cấu tuyến tính [homomorphism] nếu f thỏa mãn hai tính chất sau đây:
[L1]: [tính bảo toàn phép cộng]
[L2] [tính bảo toàn phép nhân với vô hướng]
Một ánh xạ tuyến tính đi từ V vào chính nó còn gọi là phép biến đổi tuyến tính hay toán tử tuyến tính trên V.
Nhận xét: Từ hai điều kiện trên, dễ dàng nhận thấy rằng:
là ánh xạ tuyến tính
2. Tính chất:
Cho là ánh xạ tuyến tính, V, W là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Khi đó:
1.
2.
Chứng minh:
1. Ta có:
Suy ra: [*]
Mặt khác: [**]
Do đó, từ [*], [**] ta có:
2. Ta có:
3. Các ví dụ:
3.1: Ánh xạ hằng giá trị không: là một ánh xạ tuyến tính và gọi là ánh xạ không.
3.2: Ánh xạ đồng nhất , là một phép biến đổi tuyến tính trên V và gọi là phép biến đổi đồng nhất [hay toán tử đồng nhất] trên V.
3.3 Phép lấy đạo hàm là một phép biến đổi tuyến tính trên không gian R[x] các đa thức thực một biến x.
3.4 Phép lấy tích phân xác định:
là một ánh xạ tuyến tính từ không gian C[a,b] các hàm số thực liên tục trên [a,b] đến không gian R.
3.5: Cho điểm . Phép lấy đối xứng qua trục Oy là một phép biến đổi tuyến tính. Nghĩa là: là một phép biến đổi tuyến tính.
4. Tính chất:
4.1 Ánh xạ tích của 2 ánh xạ tuyến tính và lại là 1 ánh xạ tuyến tính.
4.2 Qua một ánh xạ tuyến tính, một hệ vec-tơ phụ thuộc tuyến tính lại biến thành 1 hệ vec-tơ phụ thuộc tuyến tính.
Nghĩa là: là 1 ánh xạ tuyến tính và là 1 hệ n vec-tơ phụ thuộc tuyến tính trong V thì hệ cũng là hệ phụ thuộc tuyến tính trong W.
Ngược lại, nếu hệ là hệ độc lập tuyến tính trong W thì hệ độc lập tuyến tính trong V.
Chứng minh: Do phụ thuộc tuyến tính nên: tồn tại ít nhất một sao cho:
Suy ra:
Hay: [*]
Vậy tồn tại ít nhất một sao cho [*] xảy ra nên hệ phụ thuộc tuyến tính.
Chú ý: Ánh xạ tuyến tính có thể biến 1 hệ độc lập tuyến tính thành một hệ phụ thuộc tuyến tính.
5.Định lý cơ bản về sự xác định ánh xạ tuyến tính:
5.1 Ví dụ mở đầu:
Cho là một ánh xạ tuyến tính với:
L[1,1] = [-1,1,2,3]
L[-1,1]=[2,0,2,3]
Tìm f[5,3]? Tổng quát, hãy xác định công thức f[x,y]?
Giải: Ta biểu thị tuyến tính vec-tơ [5,3] theo hai vec-tơ [1,1] và [-1,1].
Ta có: [5, 3] = 4[1, 1] 1.[-1, 1]
Khi đó, do L là ánh xạ tuyến tính nên: L[5, 3] = L[4.[1, 1] 1.[-1, 1]] = 4L[1, 1] L[-1,1]
Vậy: L[5, 3] = 4.[-1, 1, 2, 3] [2, 0, 2, 3] = [-6, 4, 6, 9]
Tương tự:
Từ đó, dễ dàng tìm được công thức của L[x,y].
Nhận xét: ta chỉ có thể biểu thị tuyến tính mọi vec-tơ [x,y] theo 2 vec-tơ [1, 1] và [-1, 1] nếu hệ {[1, 1] , [-1, 1]} là cơ sở của
5.2 Định lý:
Cho một cơ sở của không gian vec-tơ n chiều V và là n vec-tơ tùy ý của không gian vec-tơ W. Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính sao cho
Ta bảo: ánh xạ tuyến tính hoàn toàn xác định bởi ảnh của một cơ sở.
Chứng minh:
Sự tồn tại: Giả sử x là 1 vec-tơ bất kỳ của V. Khi đó:
Ta đặt:
Vậy: f là 1 ánh xạ đi từ V vào W và hiển nhiên
Ta cần chứng minh: f là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy vơi mọi vec-tơ x, y thuộc V. Ta có: .
Ta cần chứng minh:
Thật vậy, ta có:
Do đó:
Vậy f là ánh xạ tuyến tinh.
Sự duy nhất:
Giả sử còn tồn tại ánh xạ tuyến tính mà
Khi đó: với mọi ta có:
Vậy f = g, hay f duy nhất.
5.3 Các ví dụ:
5.3.1 Trong xét cơ sở chính tắc và trong cho 3 vec-tơ v1= [1, 1] ; v2 = [2, 3] ; v3 = [4, 5]. Hãy xác định ánh xạ tuyến tính sao cho:
5.3.2 Trong không gian cho hai hệ vec-tơ:
Hỏi có tồn tại duy nhất hay không toán tử tuyến tính f [g] trên sao cho [ ]. Nếu có, hãy xác định f [g]?
6. Nhân [Kernel] và ảnh [Image] của ánh xạ tuyến tính:
6.1 Định nghĩa:
Cho là ánh xạ tuyến tính.
Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp:
Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp:
Số chiều của Imf và kerf tương ứng gọi là hạng và số khuyết của f, ký hiệu lần lượt là rank[f] và def[f]. [nghĩa la dim[imf] rank[f]; dim[kerf] def[f] ]
6.2 Ví dụ: Cho phép biến đổi tuyến tính:
Xác định kerf và imf?