Trước đây, chúng tôi đã giới thiệu khái niệm mô phỏng Monte Carlo và cách xây dựng một mô hình cơ bản có thể lấy mẫu ngẫu nhiên. Bây giờ chúng ta sẽ mở rộng mô hình của mình và chỉ ra cách những mô phỏng này có thể được áp dụng cho một số khái niệm tài chính
Quyền chọn là một hợp đồng trao cho người mua quyền mua hoặc bán một tài sản ở một mức giá cụ thể, tại một thời điểm trong tương lai. Các hợp đồng này, được gọi là các công cụ phái sinh, được giao dịch vì một số lý do, nhưng cách sử dụng phổ biến là để phòng ngừa rủi ro khi giá của tài sản biến động theo hướng không mong muốn
Quyền chọn, quyền mua hoặc bán, cũng có giá. Mô hình Black Scholes mô tả một cách xác định giá hợp lý cho một quyền chọn, nhưng cũng có nhiều phương pháp khác để xác định giá
Tùy chọn và giá trị của chúng
Quyền chọn kiểu Châu Âu chỉ có thể được sử dụng [hoặc thực hiện] khi quyền chọn đã đạt đến một ngày xác định trước trong tương lai, được gọi là ngày hết hạn. Điều này được gọi bằng chữ \[T\]
Tùy chọn cuộc gọi cung cấp cho người nắm giữ tùy chọn quyền mua ở mức giá đã biết. Một cuộc gọi kiếm tiền nếu giá của tài sản khi đáo hạn, được biểu thị bằng \[S_T\] , cao hơn giá thực hiện \[K\] , nếu không thì nó không có giá trị gì
\begin{equation*} C_T = max[0, S_T - K] \end{equation*}
Tương tự, quyền chọn bán là quyền bán một tài sản. Một quyền chọn bán kiếm tiền khi tài sản thấp hơn giá thực hiện khi đáo hạn, nếu không thì nó chẳng có giá trị gì
\begin{equation*} P_T = max[0, K - S_T] \end{equation*}
Dưới đây là biểu đồ hoàn trả của một quyền chọn bán và quyền chọn mua khi đáo hạn. Giá tài sản của chúng tôi là trục x và khoản hoàn trả là trục y
Định giá trung hòa rủi ro
Để định giá một quyền chọn bằng cách sử dụng mô phỏng Monte Carlo, chúng tôi sử dụng phương pháp định giá trung lập với rủi ro, trong đó giá trị hợp lý của một công cụ phái sinh là giá trị kỳ vọng của khoản hoàn trả trong tương lai.
Vì vậy, vào bất kỳ ngày nào trước khi đáo hạn, được ký hiệu là \[t\] , giá trị của quyền chọn là giá trị hiện tại của kỳ vọng về khoản hoàn trả khi đáo hạn, \[T\]
\begin{equation*} C_t = PV[ E[max[0, S_T - K]] ] \end{equation*}
\begin{equation*} P_t = PV[ E[max[0, K - S_T]] ] \end{equation*}
Theo cách định giá phi rủi ro, chúng tôi giả định rằng tài sản cơ bản sẽ kiếm được trung bình lãi suất phi rủi ro. Vì vậy, để tính toán khoản hoàn trả tùy chọn cho bất kỳ thời điểm nào \[t\] chúng tôi chiết khấu khoản hoàn trả theo lãi suất đó. Bây giờ chúng ta có một cách tính giá trị hiện tại \[PV\]
\begin{equation*} C_t = e^{-r[T-t]} E[max[0, S_T- K]] \end{equation*}
Tại thời điểm này, tất cả các biến này đều đã biết, ngoại trừ \[S_T\] , đó là những gì mô phỏng của chúng tôi sẽ cung cấp
Để định giá tùy chọn của chúng tôi, chúng tôi sẽ tạo một mô phỏng cung cấp cho chúng tôi nhiều quan sát về giá cuối cùng của nội dung \[S_T\]. Bằng cách tính trung bình tất cả các khoản thanh toán, chúng tôi được cung cấp một giá trị cho kỳ vọng của chúng tôi về khoản thanh toán
Mô phỏng giá tài sản
Mô hình hành vi giá cổ phiếu được sử dụng trong mô hình Black Scholes giả định rằng chúng ta có mức biến động đã biết, chúng ta có lãi suất phi rủi ro và giá của một tài sản tuân theo chuyển động Brown hình học
Chuyển động Brown hình học là một quá trình ngẫu nhiên trong đó logarit của biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn. Loại quy trình này phân phối giá theo phân phối logic chuẩn
Vì vậy, bây giờ chúng tôi có một phương pháp tính giá tài sản tại thời điểm \[T\]
\begin{equation*} S_T = S_t e^{[r-\frac{1}{2}\sigma^2][T-t]+\sigma\sqrt{T-t} \epsilon} \end{equation*}
Đối với điều này, chúng ta cần phải biết
- r là lãi suất phi rủi ro được chiết khấu bởi
- \[\sigma\] là độ biến động, độ lệch chuẩn hàng năm của lợi nhuận cổ phiếu
- [T-t] cho chúng ta thời gian đáo hạn hàng năm. e. g. đối với tùy chọn 30 ngày, đây sẽ là \[30/365 = 0. 082. \]
- S tại thời điểm \[t\]. Giá của tài sản cơ sở
- \[\epsilon\] là giá trị ngẫu nhiên của chúng tôi. Phân phối của nó phải là chuẩn tắc chuẩn [có nghĩa là 0. 0 và độ lệch chuẩn của 1. 0]
Để định giá một quyền chọn trong mô phỏng này, chúng tôi. tạo ra nhiều mức giá mà tài sản có thể ở thời điểm đáo hạn, tính toán các khoản hoàn trả tùy chọn cho từng mức giá được tạo ra đó, tính trung bình và sau đó chiết khấu giá trị cuối cùng
Trước khi tạo một mô phỏng đầy đủ, chúng ta sẽ xem xét một ví dụ nhỏ về 10 lần chạy. Giả sử chúng ta có một nội dung với các giá trị sau. \[S\] = $100. 00 và \[\sigma\] = 20% và chúng tôi muốn định giá quyền chọn mua sẽ hết hạn sau nửa năm nữa, với mức thực hiện là 110 đô la. 00, chúng tôi cũng có lãi suất phi rủi ro, là 1%
Giá VarAsset ngẫu nhiên Thanh toán Khoản thanh toán chiết khấu1. 3620120. 6410. 6410. 58-0. 778489. 130. 000. 00-0. 940887. 110. 000. 000. 2227102. 690. 000. 00-0. 036498. 990. 000. 00-1. 430381. 280. 000. 00-0. 830688. 470. 000. 001. 5155123. 2813. 2813. 21-1. 567979. 710. 000. 00-1. 671878. 550. 000. 00Tính trung bình các giá trị hoàn trả chiết khấu của chúng tôi đưa ra mức giá cho tùy chọn cuộc gọi của chúng tôi là 2 đô la. 38. Chúng tôi càng thực hiện nhiều mô phỏng, giá càng chính xác
Bây giờ chúng ta có thể xem cách mô phỏng tạo ra giá, hãy xây dựng một tập lệnh python nhỏ có thể định giá một tùy chọn và xem liệu nó có khớp với thế giới thực không. Hãy xem xét một tùy chọn trên Vodafone
Định giá quyền chọn trong thế giới thực
Trong hình ảnh bên dưới, chúng tôi có báo giá cho quyền chọn mua trên Google, với mức thực hiện là $860. 00 hết hạn vào ngày 21 tháng 9 năm 2013. Chúng ta cũng có thể thấy mức giá cuối cùng mà nó được giao dịch, $14. 50, mang lại cho chúng tôi mục tiêu khi chúng tôi thử và định giá tùy chọn này
Những gì không được chỉ định ở đây là sự biến động, lãi suất phi rủi ro hoặc giá cổ phiếu Vodafone hiện tại. Độ biến động là một chủ đề khá phức tạp, vì vậy với mục đích của bài viết này, chúng tôi sẽ giả sử rằng chúng tôi biết rằng độ biến động của tùy chọn cụ thể này là 20. 76%
Giá hiện tại của Vodafone có thể được tìm thấy bằng cách xem xét nhiều nguồn khác nhau, nhưng tại thời điểm viết nó là $857. 29
Đối với lãi suất phi rủi ro, chúng tôi có thể sử dụng lãi suất LIBOR của Hoa Kỳ với cùng thời gian đáo hạn làm quyền chọn của chúng tôi; . 14%
Mã nguồn cho toàn bộ mô phỏng sẽ được cung cấp ở dưới cùng, nhưng trước tiên, chúng tôi sẽ viết cách chúng tôi sẽ tạo giá tài sản của mình
def generate_asset_price[S,v,r,T]:
return S * exp[[r - 0.5 * v**2] * T + v * sqrt[T] * gauss[0,1.0]]
Chúng tôi biết tất cả các giá trị đầu vào, vì vậy chúng tôi có thể cắm chúng vào như vậy
S = 857.29 # underlying price v = 0.2076 # vol of 20.76% r = 0.0014 # rate of 0.14% T = [datetime.date[2013,9,21] - datetime.date[2013,9,3]].days / 365.0 print generate_asset_price[S,v,r,T] >>> 862.1783726682384
Bây giờ chúng ta cần có khả năng tính toán khoản hoàn trả của mức giá được tạo này. Nhớ lại trước đó chúng tôi đã nói rằng một cuộc gọi có giá trị \[S_T - K\] hoặc \[0\] khi hết hạn, chúng tôi biểu thị điều này dưới dạng một hàm và áp dụng nó cho giá tài sản được tạo của chúng tôi
def call_payoff[S_T, K]:
return max[S_T - K, 0.0]
print call_payoff[862.18, 860]
>>> 2.1799999999
Hoàn thành mô phỏng
Bây giờ, hãy dán cái này lại với nhau và định giá tùy chọn Google của chúng tôi
import datetime
from random import gauss
from math import exp, sqrt
def generate_asset_price[S,v,r,T]:
return S * exp[[r - 0.5 * v**2] * T + v * sqrt[T] * gauss[0,1.0]]
def call_payoff[S_T,K]:
return max[0.0,S_T-K]
S = 857.29 # underlying price
v = 0.2076 # vol of 20.76%
r = 0.0014 # rate of 0.14%
T = [datetime.date[2013,9,21] - datetime.date[2013,9,3]].days / 365.0
K = 860.
simulations = 90000
payoffs = []
discount_factor = math.exp[-r * T]
for i in xrange[simulations]:
S_T = generate_asset_price[S,v,r,T]
payoffs.append[
call_payoff[S_T, K]
]
price = discount_factor * [sum[payoffs] / float[simulations]]
print 'Price: %.4f' % price
Điều này mang lại cho chúng ta đầu ra của
Price: 14.5069
Giá nào phù hợp với giá mà chúng tôi quan sát thấy trên thị trường cho tùy chọn Google này
linh tinh
Tùy chọn Google mà chúng tôi vừa sao chép thực sự là một tùy chọn kiểu Mỹ và chúng tôi chỉ định giá nó giống như tùy chọn kiểu Châu Âu. Chúng tôi đã không xem xét khả năng quyền chọn có thể được thực hiện sớm, nhưng bất chấp điều đó, chúng tôi vẫn đạt được mức giá chính xác
Lý do điều này hiệu quả là giá của quyền chọn mua kiểu Mỹ đối với cổ phiếu không trả cổ tức, chẳng hạn như Google, bằng với giá của quyền chọn mua kiểu châu Âu. Điều này xảy ra vì theo lý thuyết, không bao giờ là tối ưu để thực hiện sớm khi cổ phiếu không trả cổ tức. Nếu quyền chọn không bao giờ được thực hiện sớm, giá của nó có thể được tính giống như quyền chọn kiểu châu Âu