Bài 1 Trang 141 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
a] \[f\left[ x \right] = 3{x^2} + {x \over 2};\]
b] \[f\left[ x \right] = 2{x^3} - 5x + 7;\]
c] \[f\left[ x \right] = {1 \over {{x^2}}} - {x^2} - {1 \over 3};\]
d] \[f\left[ x \right] = {x^{ - {1 \over 3}}};\]
e] \[f\left[ x \right] = {10^{2x}}.\]
Giải
Áp dụng công thức : \[\int {{x^\alpha }} dx = {{{x^{\alpha + 1}}} \over {\alpha + 1}} + C\left[ {\alpha \ne - 1} \right]\]
a] \[\int {\left[ {3{x^2} + {x \over 2}} \right]} dx\]
\[= 3\int {{x^2}dx + {1 \over 2}\int {xdx = {x^3} + {{{x^2}} \over 4} + C} } \]
b] \[\int {\left[ {2{x^3} - 5x + 7} \right]} dx \]
\[= 2\int {{x^3}dx - 5\int {xdx + 7\int {dx} } }\]
\[= {{{x^4}} \over 2} - {{5{x^2}} \over 2} + 7x + C\]
c] \[\int {\left[ {{1 \over {{x^2}}} - {x^2} - {1 \over 3}} \right]} dx \]
\[= \int {{x^{ - 2}}dx - \int {{x^2}dx - {1 \over 3}} } \int {dx = - {1 \over x}} - {{{x^3}} \over 3} - {x \over 3} + C\]
d] \[\int {{x^{ - {1 \over 3}}}dx = {{{x^{{2 \over 3}}}} \over {{2 \over 3}}}} + C = {3 \over 2}{x^{{2 \over 3}}} + C\]
Bài 2 Trang 141 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm
a] \[\int {\left[ {\sqrt x + \root 3 \of x } \right]dx;} \] b] \[\int {{{x\sqrt x + \sqrt x } \over {{x^2}}}} dx;\]
c] \[\int {4{{\sin }^2}xdx;} \] d] \[\int {{{1 + \cos 4x} \over 2}dx.} \]
Giải
a] \[\int {\left[ {\sqrt x + \root 3 \of x } \right]dx = \int {\left[ {{x^{{1 \over 2}}} + {x^{{1 \over 3}}}} \right]dx}}\]
\[= {{{x^{{3 \over 2}}}} \over {{3 \over 2}}} + {{{x^{{4 \over 3}}}} \over {{4 \over 3}}} + C = {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}} + {3 \over 4}{x^{{4 \over 3}}} + C\]
b]
\[\eqalign{
& \int {{{x\sqrt x + \sqrt x } \over {{x^2}}}} dx = \int {{1 \over {\sqrt x }}} dx + \int {{{dx} \over {x\sqrt x }}} \cr&= \int {{x^{ - {1 \over 2}}}} dx + \int {{x^{ - {3 \over 2}}}} dx \cr
& = {{{x^{{1 \over 2}}}} \over {{1 \over 2}}}\, + {{{x^{ - {1 \over 2}}}} \over {{-1 \over 2}}}\, + C = 2\sqrt x - {2 \over {\sqrt x }} + C \cr} \]
c] \[\int {4{{\sin }^2}xdx = \int {2\left[ {1 - \cos 2x} \right]dx} }\]
\[= 2\int {dx - 2\int {\cos 2xdx} } = 2x - \sin 2x + C\]
d] \[\int {{{1 + \cos 4x} \over 2}dx = {x \over 2}} + {1 \over 8}\sin 4x + C\]
Bài 3 Trang 141 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:
Nguyên hàm của hàm số \[y=x\sin x\] là
\[\left[ A \right]\,{x^2}\sin {x \over 2} + C;\]
\[\left[ B \right] - x\cos x + C;\]
\[\left[ C \right]\, - x\cos x + \sin x + C.\]
Giải
Ta có \[\left[ { - x\cos x + \sin x + C} \right]' \]
\[= - \cos x + x\sin x + \cos x = x\sin x.\] chọn [C].
Bài 4 Trang 141 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Khẳng định sau đúng hay sai : Nếu \[f\left[ x \right] = \left[ {1 - \sqrt x } \right]'\]thì \[\int {f\left[ x \right]dx = - \sqrt x } + C?\]
Giải
Đúng vì \[- \sqrt x \] là một nguyên hàm của \[f[x]\].