Bài 1 trang 214 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Xác định parabol $\[y = a{x^2} + bx + c\]trong mỗi trường hợp sau
a]Parabol nhận trục tung làm trục đối xứng và cắt đường thẳng\[y = {x \over 2}\] tại các điểm có hoành độ là -1 và\[{3 \over 2}\]
b] Parabol đi qua gốc tọa độ và có đỉnh là điểm [1;2].
c] Parabol đi qua hai điểm A[-1; 2], B[2; 3] và có trục đối xứng là đường thẳng x = 1.
Gợi ý làm bài
a] Vì đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng cho nên hàm số\[f[x] = a{x^2} + bx + c\] là hàm số chẵn, do đó
\[f[x] = a{x^2} + bx + c = a{x^2} - bx + c = f[ - x],\forall x\]
Suy ra b = 0. Ta còn phải xác định a và c.
Vì parabol cắt đường thẳng\[y = {x \over 2}\] tại các điểm có hoành độ -1 và\[{3 \over 2}\] nên nó đi qua các điểm
\[[ - 1; - {1 \over 2}]\] và\[[{3 \over 2};{3 \over 4}]\]
Ta có hệ phương trình
\[\left\{ \matrix{
a + c = - {1 \over 2} \hfill \cr
{{9a} \over 4} + c = {3 \over 4} \hfill \cr} \right.\]
Giải hệ phương trình trên ta được \[a = 1,c = - {3 \over 2}\]
Parabol phải tìm là\[y = x{}^2 - {3 \over 2}\]
b] Vì parabol đi qua [0;0] nên y[0] = c = 0.
Do parabol có đỉnh là [1; 2] nên
\[\left\{ \matrix{
- {b \over {2a}} = 1 \hfill \cr
- {\Delta \over {4a}} = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2a + b = 0 \hfill \cr
{b^2} + 8a = 0 \hfill \cr} \right.\]
Giải hệ phương trình trên ta được a = -2, b = 4.
Parabol phải tìm là\[y = - 2{x^2} + 4x\]
c]\[a = - {1 \over 3},b = {2 \over 3},c = 3\]
Bài 2 trang 214 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Tìm các giá trị của k sao cho phương trình
\[[k - 1]{x^2} + [k + 4]x + k + 7 = 0\]
có các nghiệm bằng nhau.
Gợi ý làm bài
Phương trình \[[k - 1]x_{}^2 + [k + 4]x + k + 7 = 0\] có các nghiệm bằng nhau
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \Delta = [k + 4]_{}^2 - 4[k - 1][k + 7] = 0 \cr
& \Leftrightarrow - 3k_{}^2 - 16k + 44 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
k = 2 \hfill \cr
k = - {{22} \over 3} \hfill \cr} \right. \cr} \]
Bài 3 trang 214 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Với những giá trị nào của a, hiệu giữa hai nghiệm của phương trình
\[2{x^2} - [a + 1]x + [a - 1] = 0\]
bằng tích của chúng?
Gợi ý làm bài
Ta có:\[\Delta = {[a + 1]^2} - 8[a - 1] = {a^2} + 2a + 1 - 8a + 8\]
\[{a^2} - 6a + 9 = {[a - 3]^2} \ge 0\] nên phương trình đã cho có nghiệm
Xét \[{[{x_1} - {x_2}]^2} = {[{x_1} + {x_2}]^2} - 4{x_1}{x_2} = x_1^2x_2^2\]
Hay\[{\left[ {{{a + 1} \over 2}} \right]^2} - 4.{{a - 1} \over 2} = {\left[ {{{a - 1} \over 2}} \right]^2}\]
\[ \Leftrightarrow - 4a + 8 = 0 \Leftrightarrow a = 2\]
Đáp số: a = 2
Bài 4 trang 214 Sách bài tập [SBT] Toán Đại số 10
Hãy xác định k để hiệu giữa các nghiệm của phương trình\[5{x^2} - kx + 1 = 0\] bằng 1.
Gợi ý làm bài
Cần có:\[\Delta = {k^2} - 20 > 0\]
Xét\[{x_1} - {x_2} = [{x_1} + {x_2}] - 2{x_2} = 1 = > {k \over 5} - 2{x_2} = 1\]
Suy ra\[{x_2} = {{k - 5} \over {10}},{x_2} = 1 + {x_1} = {{k + 5} \over {10}}\]
Do đó
\[{x_1}{x_2} = {{k - 5} \over {10}}.{{k + 5} \over {10}} = {1 \over 5} \Leftrightarrow {k^2} = 45\]
Đáp số:\[k = \pm 3\sqrt 5 \]