Bài 1 trang 34 sách giáo khoa hình học lớp 11
Cho lục giác đều \[ABCDEF\] tâm \[O\]. Tìm ảnh của tam giác \[AOF\].
a] Qua phép tịnh tiến theo vectơ \[AB\]
b] Qua phép đối xứng qua đường thẳng \[BE\]
c] Qua phép quay tâm \[O\] góc\[ 120^{\circ}\]
Lời giải:
a] Tam giác \[BCO\]
b] Tam giác \[COD\]
c] Tam giác \[EOD\]
Bài 2 trang 34 sách giáo khoa hình học lớp 11
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\] cho điểm \[A[-1;2]\] và đường thẳng \[d\] có phương trình \[3x + y+ 1= 0\]. Tìm ảnh của \[A\] và \[d\]
a] Qua phép tịnh tiến theo vectơ \[v = [2;1]\]
b] Qua phép đối xứng qua trục \[Oy\]
c] Qua phép đối xứng qua gốc tọa độ
d] Qua phép quay tâm \[O\] góc \[ 90^{\circ}\]
Lời giải:
Gọi \[A'\] và \[d'\] theo thứ tự là ảnh của \[A\] và \[d\] qua phép biến hình trên
a] \[A' = [-1+2; 2+1] = [1;3]\], \[d // d'\], nên d có phương trình : \[3x +y + C = 0\]. Vì \[A\] thuộc \[d\], nên \[A'\] thuộc \[d'\], do đó \[3.1 +3 + C = 0\]. Suy ra \[C=-6\]. Do đó phương trình của \[d'\] là \[3x+y-6=0\]
b] \[A [-1;2]\] và \[B[0;-1]\] thuộc \[d\]. Ảnh của \[A\] và \[B\] qua phép đối xứng qua trục \[Oy\] tương ứng là \[A'[1;2]\] và \[B'[0;-1]\]. Vậy \[d'\] là đường thẳng \[A'B'\] có phương trình :
\[ \frac{x- 1}{-1}\]= \[ \frac{y-2}{-3}\]
hay \[3x - y - 1 =0\]
c] \[A'=[ 1;-2] , d'\] có phương trình \[3x + y -1 =0\]
d] Qua phép quay tâm \[O\] góc \[ 90^{\circ}\], \[A\] biến thành \[A'[ -2; -1], B\] biến thành \[B'[1;0]\]. Vậy \[d'\] là đường thẳng \[A'B'\] có phương trình
\[ \frac{x-1}{-3}\]= \[ \frac{y}{-1}\]
hay \[x- 3y - 1 = 0\]
Bài 3 trang 34 sách giáo khoa hình học lớp 11
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho đường tròn tâm \[I[3;-2]\], bán kính \[3\]
a] Viết phương trình của đường tròn đó
b] Viết phương trình ảnh của đường tròn \[[I;3]\] qua phép tịnh tiến theo vectơ \[v = [-2;1]\]
c] Viết phương trình ảnh của đường tròn \[[I;3]\] qua phép đối xứng qua trục \[Ox\]
d] Viết phương trình ảnh của đường tròn \[[I;3]\] qua phép đối xứng qua gốc tọa độ
Lời giải:
Gọi \[I'\] là ảnh của \[I\] qua phép biến hình nói trên
a] Phương trình của đường tròn \[[I;3]\] là:
\[[x-3]^{2}\] + \[[y+2]^{2} = 9\]
b] \[{T_{\overrightarrow{v}}} [I] = I' [1;-1]\], phương trình đường tròn ảnh : \[[x-1]^{2}+[y+1]^{2}=9\]
c] \[{D_{Ox}} [I] = I'[3;2]\], phương trình đường tròn ảnh: \[[x-3]^{2}+[y-2]^{2}=9\]
d] \[{D_{O}}[I] = I'[ -3;2]\], phương trình đường tròn ảnh: \[[x+3]^{2}+[y-2]^{2}=9\]
Bài 4 trang 34 sách giáo khoa hình học lớp 11
Cho vectơ \[v\], đường thẳng \[d\] vuông góc với giá của vectơ \[v\]. Gọi \[d'\] là ảnh của \[d\] qua phép tịnh tiến theo vectơ \[ \frac{1}{2}\]\[ \overrightarrow{v}\]. Chứng minh rằng phép tịnh tiến theo vectơ \[ \overrightarrow{v}\]
Lời giải:
Lấy \[M\] tùy ý. Gọi\[{D_{d}}[M] = M'\], \[{D_{d'}} [M'] = M''\].
Gọi \[M_0,M_1\] lần lượt là giao của \[d\] và \[d'\] với \[MM''\]
Ta có
\[ \overrightarrow{MM''}\]=\[\overrightarrow{MM'} + \overrightarrow{M'M''}= 2\overrightarrow{{M_{0}M'}^{}} + 2 \overrightarrow{M'{M_{1}}^{}}\]
\[= 2 \overrightarrow{{M_{0}{M_{1}}^{}}^{}} = 2 \frac{\overrightarrow{v}}{2} = \overrightarrow{v}\]
Vậy \[M'' = {T_{\overrightarrow{v}}} [M] = {D_{d'}}\] \[{D_{d}}[M]\], với mọi \[M\]
Do đó phép tịnh tiến theo vectơ \[v\] là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng \[d\] và \[d'\].