Bài 1 trang 45 sgk hình học 10
Cho tam giác vuông cân \[ABC\] có \[AB = AC = a\]. Tính các tích vô hướng\[\vec{AB}.\vec{AC}\],\[\vec{AC}.\vec{CB}\].
Giải
\[\vec{AB} \vec{AC}\Rightarrow \vec{AB}.\vec{AC} = 0\]
\[\vec{AC}.\vec{CB} =- \vec{CA}\].\[\vec{CB}\]
Ta có: \[CB= a\sqrt2\]; \[\widehat{C} =45^0\]
Vậy \[\vec{AC}.\vec{CB} = -\vec{CA}. \vec{CB}= -|\vec{CA}|. |\vec{CB}|. cos45^0\]
\[=- a.a\sqrt 2 .{{\sqrt 2 } \over 2} = - {a^2}\]
Bài 2 trang 45 sgk hình học 10
Cho ba điểm \[O, A, B\] thẳng hàng biết \[OA = a, OB = b\]. tính tích vô hướng của\[\vec{OA}\].\[\vec{OB}\]trong \[2\] trường hợp
a] Điểm \[O\] nằm ngoài đoạn \[AB\]
b]Điểm \[O\] nằm trong đoạn \[AB\]
Giải
a] Khi \[O\] nằm ngoài đoạn \[AB\] thì hai vec tơ\[\vec{OA}\]và\[\vec{OB}\]cùng hướng và góc
\[[\vec{OA}, \vec{OB}] = 0^0\]
\[\cos[\vec{OA}, \vec{OB}] = 1\] nên \[\vec{OA}.\vec{OB} = a.b\]
b]Khi \[O\] nằm ngoài trong đoạn \[AB\] thì hai vectơ\[\vec{OA}\]và\[\vec{OB}\]ngược hướng và góc
[\[\vec{OA}, \vec{OB}] =180^0\]
\[\cos[\vec{OA}, \vec{OB}] = -1\] nên \[\vec{OA}.\vec{OB} = -a.b\]
Bài 3 trang 45 sgk hình học 10
Cho nửa đường tròn tâm \[O\] có đường kính \[AB = 2R\]. Gọi \[M\] và \[N\] là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung \[AM\] và \[BN\] cắt nhau tại \[I\].
a] Chứng minh \[\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}\]và \[\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}\];
B] Hãy dùng câu a] để tính \[\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}\]theo \[R\]
Giải
Ta có : \[\left[ {\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} } \right] = \overrightarrow {AI} \left[ {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} } \right] = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {MB} \]
Mặt khác: \[\overrightarrow {AI} \bot \overrightarrow {MB} \]nên \[\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {MB} = 0\]
Từ đó: \[\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} \]
Ta có: \[\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BI} \left[ {\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {NA} } \right] = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {NA} \]
Mặt khác: \[\overrightarrow {BI} \bot \overrightarrow {NA} \]nên \[\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {NA} = 0\]
Từ đó: \[\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \]
b]
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \cr
& = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} \left[ {\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {BI} } \right] \cr
& = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} = {\overrightarrow {AB} ^2} = 4{{\rm{R}}^2} \cr} \]
Bài 4 trang 45 sgk hình học 10
Trên mặt phẳng \[Oxy\], cho hai điểm \[A[1; 3], B[4;2]\]
a] Tìm tọa độ điểm \[D\] nằm trên trục \[Ox\] sao cho \[DA = DB\];
b] Tính chu vi tam giác \[OAB\];
c] Chứng tỏ rằng \[OA\] vuông góc với \[AB\] và từ đó tính diện tích tam giác \[OAB\]
Giải
a] \[D\] nằm trên trục \[Ox\] nên tọa độ của \[D\] là \[[x; 0]\].
Ta có :
\[\eqalign{
& DA = DB \cr
& \Leftrightarrow D{A^2} = D{B^2} \cr
& \Leftrightarrow {[1 - x]^2} + {3^2} = {[4 - x]^2} + {2^2} \cr
& \Leftrightarrow 1 - 2x + {x^2} + 9 = 16 - 8x + {x^2} + 4 \cr
& \Leftrightarrow 6x = 10 \cr
& \Leftrightarrow x = {5 \over 3} \cr
& \Rightarrow D\left[ {{5 \over 3};0} \right] \cr} \]
b]
\[\eqalign{
& O{A^2} = {1^2} + {3^3} = 10 \Rightarrow OA = \sqrt {10} \cr
& O{B^2} = {4^2} + {2^2} = 20 \Rightarrow OB = 2\sqrt 5 \cr
& A{B^2} = {[4 - 1]^2} + {[2 - 3]^2} = 10 \Rightarrow AB = \sqrt {10} \cr} \]
Chu vi tam giác \[OAB\] là: \[\sqrt {10} + 2\sqrt 5 + \sqrt {10} \]
c] Ta có\[\vec{OA}= [1; 3]\]
\[\vec{AB} = [3; -1]\]
\[\vec{OA} .\vec{AB} = 1.3 + 3.[-1] = 0 \Rightarrow \vec{OA}\]\[\vec{AB}\]
\[{S_{OAB}}=\frac{1}{2}|\vec{OA}|.|\vec{AB}| =5\] [đvdt]