Bài 1 trang 49 sách giáo khoa hình học lớp 12
Tìm tập hợp tất cả các điểm trong không gian luôn luôn nhìn đoạn thẳng \[AB\] cố định dưới một góc vuông.
Giải:
Gọi \[O\] là trung điểm đoạn thẳng \[AB\], vì tam giác \[AMB\] vuông tại \[M\] nên trung tuyến \[MO\] bằng nửa cạnh huyến, tức \[MO = {AB\over2} = R\].
Vậy tập hợp các điểm \[M\] nhìn \[AB\] dưới một góc vuông nằm trên mặt cầu đường kính \[AB\]
Ngược lại, lấy \[M\] thuốc mặt cầu đwòng kính \[AB\] thì \[MO = {AB\over2}\] do đó nếu \[M\] khác \[A\] và \[B\] thì tam giác \[MAB\] vuông tại \[M\], còn khi \[M = A\] hoặc \[M = B\] ta cũng coi \[M\] nhìn \[AB\] một góc vuông.
Kết luận: Tập hợp các điểm \[M\] trong không gian nhìn đoạn thẳng \[AB\] dưới một góc vuông là mặt cầu đường kính \[AB\].
Bài 2 trang 49 sách giáo khoa hình học lớp 12
Cho hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] có tất cả các cạnh đều bằng \[a\]. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
Giải:
Gọi \[I = AC BD\]. Ta thấy \[AC = a\sqrt2 = BD\],
\[SA = SC = a\], nên \[S{A^2} + S{C^2} = A{C^2}\]. Vậy điểm \[S\] nhìn \[AC\] dưới một góc vuông. Các điểm \[B\] và \[D\] cũng nhìn \[AC\] dưới một góc vuông
Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu đường kính \[AC\]. Tâm của cầu là điểm \[I\] và bán kính \[R = {{a\sqrt 2 } \over 2}\]. Ta thấy rằng điểm \[I\] cũng là chân đường cao hạ từ đỉnh \[S\] xuống đáy.
Bài 3 trang 49 sách giáo khoa hình học lớp 12
Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước
Giải:
Giả sử đường tròn cố định \[[C]\] tâm \[I\] bán kính \[r\] nằm trên mặt phẳng \[[P]\]. Xét đường thẳng \[d\] qua \[I\] và vuông góc với mặt phẳng \[[P]\]. Đường thẳng \[d\] được gọi là trục của đường tròn. Giả sử \[O\] là tâm của mặt cầu \[[S]\] chứa đường tròn \[[C]\] thì \[O\] cách đều mọi điểm của \[[C]\].Vì vậy chân đường vuông góc hạc từ \[O\] xuống mặt phẳng \[[P]\] chính là tâm \[I\] của \[[C]\]. Điều đó xảy ra khi và chỉ khi điểm \[O \in d\]
Kết luận: Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước là đường thẳng \[d\] vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của nó.
Bài 4 trang 49 sách giáo khoa hình học lớp 12
Tìm tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.
Giải:
Giả sử tam giác \[ABC\] cho trước nằm trong mặt phẳng \[[P]\]. mặt cầu \[[S]\] tiếp xúc với ba cạnh của tam giác \[ABC\] sẽ giao với mặt phẳng \[[P]\] theo một đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác \[ABC\], chính là đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\]. Theo bài 3, tập hợp tâm các mặt cầu luôn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác \[ABC\] là trục đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\].