Bài 1 trang 25 sgk hình học 12
Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh \[a\].
Giải:
Cho tứ diện đều \[ABCD\]. Hạ đường cao \[AH\] của tứ diện thì do các đường xiên \[AB, AC, AD\] bằng nhau nên các hình chiếu của chúng: \[HB, HC, HD\] bằng nhau. Do \[BCD\] là tam giác đều nên \[H\] là trọng tâm của tam giác \[BCD\].
Do đó \[BH = {2 \over 3}.{{\sqrt 3 } \over 2}a = {{\sqrt 3 } \over 3}a\]
Từ đó suy ra: \[AH^2\]=\[ a^2\] \[BH^2\]=\[{{6{a^2}} \over 9}\]
Nên \[AH = {{\sqrt 6 } \over 3}a\]
Thể tích tứ diện đó \[V={1 \over 3} \cdot {1 \over 2} \cdot {{\sqrt 3 } \over 2}{a^2} \cdot {{\sqrt 6 } \over 3}a = {a^3}{{\sqrt 2 } \over {12}}.\]
Bài 2 trang 25 sgk hình học 12
Tính thể tích khối bát diện đều cạnh \[a\].
Giải:
Chia khối tám mặt đều cạnh \[a\] thành hai khối chóp tứ giác đều cạnh \[a\].
Gọi \[h\] là chiều cao của khối chóp thì dễ thấy
\[{h^2} = {a^2} - {\left[ {{a\sqrt {2}}\over2 } \right]^2} = {{{a^2}} \over 2}\] nên \[h = {{a\sqrt 2 } \over 2}\]
Từ đó thể tích khối tám mặt đều cạnh \[a\] là:
\[V = 2.{1 \over 3}.{{\sqrt {2}}\over2}a .{a^2} = {a^3}{{\sqrt 2 } \over 3}\].
Bài3 trang 25 sgk hình học 12
Cho hình hộp \[ABCD.ABCD\]. Tính thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện \[ACBD\].
Giải:
Gọi \[S\] là diện tích đáy \[ABCD\] và \[h\] là chiều cao của khối hộp. Chia khối hộp thành khối tứ diện \[ACBD\] và bốn khối chóp \[A.ABD, C.CBD, B.BAC\] và \[D. DAC\]. Ta thấy bốn khối chóp sau đều có diện tích đáy bằng\[\frac{S}{2}\]và chiều cao bằng \[h\], nên tổng các thể tích của chúng bằng
\[4\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{S}{2}h\]\[=\frac{2}{3}Sh\].
Từ đó suy ra thể tích của khối tứ diện
\[ACBD\]=\[\frac{1}{3}Sh\]. Do đó tỉ số của thể tích khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện \[ACBD\] bằng \[3\].