Bài 1.20 trang 19 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a] f[x] = -3x2 + 4x 8 trên đoạn [0; 1]
b] f[x] = x3 + 3x2 9x 7 trên đoạn [-4; 3]
c] \[f[x] = \sqrt {25 - {x^2}} \]trên đoạn [-4; 4]
d] f[x] = |x2 3x + 2| trên đoạn [-10; 10]
e] \[f[x] = {1 \over {\sin x}}\]trên đoạn \[{\rm{[}}{\pi \over 3};{{5\pi } \over 6}{\rm{]}}\]
g] \[f[x] = 2\sin x + \sin 2x\]trên đoạn \[{\rm{[}}0;{{3\pi } \over 2}{\rm{]}}\]
Hướng dẫn làm bài:
a] f[x] = -3x2 + 4x 8 trên đoạn [0; 1]
\[\eqalign{
& f'[x] = - 6x + 4,f'[x] = 0 < = > x = {2 \over 3} \cr
& f[{2 \over 3}] = - {{20} \over 3},f[0] = - 8;f[1] = - 7 \cr} \]
Vậy \[\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}0;1]} f[x] = - 8;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}0;1]} f[x] = - {{20} \over 3}\]
b] f[x] = x3+ 3x2 9x 7trên đoạn [-4; 3]
\[f'[x] = 3{x^2} + 6x - 9\]
\[f'[x] = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - 3 \hfill \cr} \right.\]
Hàm số đạt cực đại tại x = -3, đạt cực tiểu tại x = 1 và fCĐ = f[-3] = 20; fCT = f[1] = -12 ;
f[-4] = 13 ; f[3] = 20.
Vậy \[\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 4;3]} f[x] = - 12;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 4;3]} f[x] = 20\]
c] \[f[x] = \sqrt {25 - {x^2}} \]trên đoạn [-4; 4]
\[f'[x] = {{ - x} \over {\sqrt {25 - {x^2}} }};f'[x] > 0\]trên khoảng [-4; 0] và
f[x] < 0 trên khoảng [0; 4].
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và fCĐ = 5
Mặt khác, ta có f[-4] = f[4] = 3
Vậy \[\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 4;4]} f[x] = 3;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 4;4]} f[x] = 5\]
d] \[f[x] = |{x^2} - 3x + 2|\]trên đoạn [-10; 10]
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số g[x] = x2 3x + 2.
Ta có:
\[g'[x] = 2x - 3;g'[x] = 0 < = > x = {3 \over 2}\]
Bảng biến thiên:
Vì
\[f[x] = \left\{ \matrix{
g[x],{x^2} - 3x + 2 \ge 0 \hfill \cr
- g[x],{x^2} - 3x + 2 < 0 \hfill \cr} \right.\]
nên ta có đồ thị f[x] như sau:
Từ đồ thị suy ra: \[\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 10;10]} f[x] = f[1] = f[2] = 0;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 10;10]} f[x] = f[ - 10] = 132\]
e] \[f[x] = {1 \over {\sin x}}\]trên đoạn \[{\rm{[}}{\pi \over 3};{{5\pi } \over 6}{\rm{]}}\]
\[f'[x] = - {{\cos x} \over {{{\sin }^2}x}},f'[x] < 0\]nên và f[x] > 0 trên \[[{\pi \over 2};{{5\pi } \over 6}{\rm{]}}\]nên hàm số đạt cực tiểu tại \[x = {\pi \over 2}\]và \[{f_{CT}} = f[{\pi \over 2}] = 1\]
Mặt khác, \[f[{\pi \over 3}] = {2 \over {\sqrt 3 }},f[{{5\pi } \over 6}] = 2\]
Vậy \[\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}{\pi \over 3};{{5\pi } \over 6}]} f[x] = 1;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}{\pi \over 3};{{5\pi } \over 6}]} f[x] = 2\]
g] \[f[x] = 2\sin x + \sin 2x\]trên đoạn \[{\rm{[}}0;{{3\pi } \over 2}{\rm{]}}\]
\[f'[x] = 2\cos x + 2\cos 2x = 4\cos {x \over 2}\cos {{3x} \over 2}\]
\[f'[x] = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos {x \over 2} = 0 \hfill \cr
\cos {{3x} \over 2} = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left[ \matrix{
x = \pi \hfill \cr
x = {\pi \over 3} \hfill \cr} \right.\]
Ta có: \[f[0] = 0,f[{\pi \over 3}] = {{3\sqrt 3 } \over 2},f[\pi ] = 0,f[{{3\pi } \over 2}] = - 2\]
Từ đó ta có : \[\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}0;{{3\pi } \over 2}]} f[x] = - 2;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}0;{{3\pi } \over 2}]} f[x] = {{3\sqrt 3 } \over 2}\].
Bài 1.21 trang 20 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a] \[y = {x \over {4 + {x^2}}}\]trên khoảng \[[ - \infty ; + \infty ]\];
b] \[y = {1 \over {\cos x}}\]trên khoảng \[[{\pi \over 2};{{3\pi } \over 2}]\]
c] \[y = {1 \over {1 + {x^4}}}\]trên khoảng \[[ - \infty ; + \infty ]\];
d] \[y = {1 \over {\sin x}}\]trên khoảng \[[0;\pi ]\].
Hướng dẫn làm bài:
a]\[y = {x \over {4 + {x^2}}}\]trên khoảng \[[ - \infty ; + \infty ]\]
\[\eqalign{
& y' = {{4 - {x^2}} \over {{{[4 + {x^2}]}^2}}} \cr
& y' = 0 \Rightarrow \left[ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Từ đó ta có \[\mathop {\min }\limits_R f[x] = - {1 \over 4};\mathop {\max }\limits_R f[x] = {1 \over 4}\]
b]\[y = {1 \over {\cos x}}\]trên khoảng \[[{\pi \over 2};{{3\pi } \over 2}]\]
\[y' = {{\sin x} \over {{{\cos }^2}x}};y' = 0 < = > x = \pi\]
Bảng biến thiên:
Hàm số không có giá trị nhỏ nhất. Giá trị lớn nhất của hàm số là: \[\mathop {\max }\limits_{[{\pi \over 2};{{3\pi } \over 2}]} y = y[\pi ] = - 1\]
c]\[y = {1 \over {1 + {x^4}}}\]trên khoảng \[[ - \infty ; + \infty ]\];
\[y' = {{ - 4{x^3}} \over {{{[1 + {x^4}]}^2}}};y' = 0 < = > x = 0\]
Bảng biến thiên:
Hàm số không có giá trị nhỏ nhất. Giá trị lớn nhất là: \[\mathop {\max }\limits_R y = y[0] = 1\]
d]\[y = {1 \over {\sin x}}\]trên khoảng \[[0;\pi ]\]
\[y' = {{ - \cos x} \over {{{\sin }^2}x}},y' = 0 < = > x = {\pi \over 2}\]
Bảng biến thiên:
Hàm số không có giá trị lớn nhất. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là: \[\mathop {\min }\limits_{[0;\pi ]} y = y[{\pi \over 2}] = 1\].
Bài 1.22 trang 20 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[f[x] = {{2x - 1} \over {x - 3}}\]trên đoạn [0; 2].
[Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008, lần 2]
Hướng dẫn làm bài:
TXĐ: D =R\{3}
\[f'[x] = - {5 \over {{{[x - 3]}^2}}} < 0,\forall x \in D\]và do đó f[x] nghịch biến trên các khoảng \[[ - \infty ;3],[3; + \infty ]\]
Ta thấy \[{\rm{[}}0;2] \subset [ - \infty ;3].\]
Vì vậy: \[\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}0;2]} f[x] = f[2] = - 3;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}0;2]} f[x] = f[0] = {1 \over 3}\].