Bài 1.1 trang 7 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a] \[y = 3{x^2} - 8{x^3}\]
b]\[y = 16x + 2{x^2} - {{16} \over 3}{x^3} - {x^4}\]
c] \[y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\]
d]\[y = {x^4} + 8{x^2} + 5\]
Hướng dẫn làm bài
a] TXĐ: R
\[y' = 6x - 24{x^2} = 6x[1 - 4x]\]
y' = 0 \[\left[ {\matrix{{x = 0} \cr {x = {1 \over 4}} \cr} } \right.\]
y' > 0 trên khoảng [0;\[{1 \over 4}\] ] , suy ra y đồng biến trên khoảng[0;\[{1 \over 4}\] ]
y' < 0 trên các khoảng [-;0 ]; \[[{1 \over 4}; + \infty ]\], suy ra y nghịch biến trên các khoảng[-;0 ];\[[{1 \over 4}; + \infty ]\]
b] TXĐ: R
\[y' = 16 + 4x - 16{x^2} - 4{x^3} = - 4[x + 4][{x^2} - 1]\]
y' = 0 \[\left[ {\matrix{{x = - 4} \cr {x = - 1} \cr {x = 1} \cr} } \right.\]
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số y đã cho đồng biến trên các khoảng [-; -4] và [-1; 1], nghịch biến trên các khoảng [-4; -1] và [1; +]
c] TXĐ: R
\[y' = 3{x^2} - 12x + 9\]
y'=0 \[\left[ {\matrix{{x = 1} \cr {x = 3} \cr} } \right.\]
y' > 0 trên các khoảng [-; 1], [3; +] nên y đồng biến trên các khoảng[-; 1], [3; +]
y'< 0 trên khoảng [1; 3] nên y nghịch biến trên khoảng [1; 3]
d] TXĐ: R
\[y' = 4{x^3} + 16 = 4x[{x^2} + 4]\]
y' = 0 x = 0
y' > 0 trên khoảng [0; +] => y đồng biến trên khoảng [0; +]
y' < 0 trên khoảng [-; 0] => y nghịch biến trên khoảng [-; 0]
Bài 1.2 trang 7 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a]\[y = {{3 - 2x} \over {x + 7}}\]
b]\[y = {1 \over {{{[x - 5]}^2}}}\]
c] \[y = {{2x} \over {{x^2} - 9}}\]
d] \[y = {{{x^4} + 48} \over x}\]
e]\[y = {{{x^2} - 2x + 3} \over {x + 1}}\]
g] \[y = {{{x^2} - 5x + 3} \over {x - 2}}\]
Hướng dẫn làm bài
a] TXĐ: R\ {-7}
\[y' = {{ - 17} \over {{{[x + 7]}^2}}}\]
y' < 0 trên các khoảng [-; -7], [-7; +] nên hàm số nghịch biến trên các khoảng đó
b] TXĐ: R\ {5}
\[y' = {{ - 2} \over {{{[x - 5]}^3}}}\]
y' < 0 trên khoảng [5; +] nên y nghịch biến trên khoảng [5; +]
y' > 0 trên khoảng [-; 5] nên y đồng biến trên khoảng [-; 5]
c] TXĐ: R\{-3; 3}
\[y' = {{ - 2[{x^2} + 9]} \over {{{[{x^2} - 9]}^2}}}\]
y' < 0 trên các khoảng [-; - 3], [-3; 3], [3; +] nên hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng đó.
d] TXĐ: R\ {0}
\[y' = {{3[{x^4} - 16]} \over {{x^2}}} = {{3[{x^2} - 4][{x^2} + 4]} \over {{x^2}}}\]
y' = 0 \[\left[ {\matrix{{x = - 2} \cr {x = 2} \cr} } \right.\]
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng [-; -2], [2; +] và nghịch biến trên các khoảng [-2; 0], [0; 2]
e] TXĐ: R \ {-1}
\[y' = {{{x^2} + 2x - 5} \over {{{[x + 1]}^2}}}\]
y' = 0 \[\left[ {\matrix{{x = - 1 - \sqrt 6 } \cr {x = - 1 + \sqrt 6 } \cr} } \right.\]
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \[[ - \infty ; - 1 - \sqrt 6 ],[ - 1 + \sqrt 6 ; + \infty ]\]
và nghịch biến trên các khoảng \[[ - 1 - \sqrt 6 ; - 1],[ - 1; - 1 + \sqrt 6 ]\]
g] TXĐ: R\ {2}
\[y' = {{{x^2} - 4x + 7} \over {{{[x - 2]}^2}}} > 0\]
[do \[{x^2} - 4x + 7\] có' = - 3 < 0]
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \[[ - \infty ;2],[2; + \infty ]\]
Bài 1.3 trang 8 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Xét tính đơn điệu của các hàm số:
a]\[y = \sqrt {25 - {x^2}} \]
b]\[y = {{\sqrt x } \over {x + 100}}\]
c]\[y = {x \over {\sqrt {16 - {x^2}} }}\]
d]\[y = {{{x^3}} \over {\sqrt {{x^2} - 6} }}\]
Hướng dẫn làm bài
a]TXĐ: [-5; 5]
\[y' = {{ - x} \over {\sqrt {25 - {x^2}} }}\] ;y = 0 x = 0
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng [-5; 0] nghịch biến trên khoảng [0; 5]
b] TXĐ: [0; +]
\[y' = {{100 - x} \over {2\sqrt x {{[x + 100]}^2}}}\] ;y = 0 x = 100
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng [0; 100] và nghịch biến trên khoảng [100; +]
c] TXĐ: [-4; 4]
\[y' = {{16} \over {[16 - {x^2}]\sqrt {16 - {x^2}} }} > 0\] ; x [-4; 4].
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng [-4; 4].
d] TXĐ: [-; \[\sqrt 6 \]] [\[\sqrt 6 \]; +]
\[y' = {{2{x^2}[{x^2} - 9]} \over {[{x^2} - 6]\sqrt {{x^2} - 6} }}\] ;y = 0 x = ±3
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng [-; -3], [3; +], nghịch biến trên các khoảng [-3;\[-\sqrt 6 \] ], [\[\sqrt 6 \]; 3].
Bài 1.4 Trang 8 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a]\[y = x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\], x [0; 2π].
b]\[y = x + 2\cos x\] ,x \[[{\pi \over 6};{{5\pi } \over 6}]\]
c]\[y = \sin {1 \over x}\] ,[x > 0]
Hướng dẫn làm bài
a]\[y = x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\], x [0; 2π].
\[y' = 1 - c{\rm{osx }}\] 0 với mọi x [0; 2π]
Dấu = xảy ra chỉ tại x = 0 và x = 2π.
Vậy hàm số đồng biến trên đoạn [0; 2π].
b]\[y = x + 2\cos x\] ,x \[[{\pi \over 6};{{5\pi } \over 6}]\]
\[y' = 1 - 2\sin x\] < 0 với x \[[{\pi \over 6};{{5\pi } \over 6}]\]
Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng\[[{\pi \over 6};{{5\pi } \over 6}]\]
c]Xét hàm số\[y = \sin {1 \over x}\] với x > 0.
\[y' = - {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over x}\]
Giải bất phương trình sau trên khoảng [0; +]:
\[{1 \over {{x^2}}}[ - \cos {1 \over x}] > 0\] ⟺\[\cos {1 \over x}\] < 0
⟺\[{\pi \over 2}[1 + 4k] < {1 \over x} < {\pi \over 2}[3 + 4k]\],k = 0, 1, 2 .
⟺\[{2 \over {\pi [1 + 4k]}} > x > {2 \over {\pi [3 + 4k]}}\] , k = 0, 1, 2 ..
Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng
\[....,[{2 \over {[4k + 3]\pi }};{2 \over {[4k + 1]\pi }}],[{2 \over {[4k - 1]\pi }};{2 \over {[4k - 3]\pi }}],.....,\] \[[{2 \over {7\pi }};{2 \over {5\pi }}],[{2 \over {3\pi }};{2 \over \pi }]\]
Và nghịch biến trên các khoảng
, \[[{2 \over {[4k + 1]\pi }};{2 \over {[4k - 1]\pi }}],[{2 \over {5\pi }};{2 \over {3\pi }}],.....,[{2 \over \pi }; + \infty ]\]
với k = 0, 1, 2