Giải bài 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 trang 7 sách bài tập giải tích 12 - Bài trang Sách bài tập (SBT) Giải tích

\[....,[{2 \over {[4k + 3]\pi }};{2 \over {[4k + 1]\pi }}],[{2 \over {[4k - 1]\pi }};{2 \over {[4k - 3]\pi }}],.....,\] \[[{2 \over {7\pi }};{2 \over {5\pi }}],[{2 \over {3\pi }};{2 \over \pi }]\]

Bài 1.1 trang 7 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a] \[y = 3{x^2} - 8{x^3}\]

b]\[y = 16x + 2{x^2} - {{16} \over 3}{x^3} - {x^4}\]

c] \[y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\]

d]\[y = {x^4} + 8{x^2} + 5\]

Hướng dẫn làm bài

a] TXĐ: R

\[y' = 6x - 24{x^2} = 6x[1 - 4x]\]

y' = 0 \[\left[ {\matrix{{x = 0} \cr {x = {1 \over 4}} \cr} } \right.\]

y' > 0 trên khoảng [0;\[{1 \over 4}\] ] , suy ra y đồng biến trên khoảng[0;\[{1 \over 4}\] ]

y' < 0 trên các khoảng [-;0 ]; \[[{1 \over 4}; + \infty ]\], suy ra y nghịch biến trên các khoảng[-;0 ];\[[{1 \over 4}; + \infty ]\]

b] TXĐ: R

\[y' = 16 + 4x - 16{x^2} - 4{x^3} = - 4[x + 4][{x^2} - 1]\]

y' = 0 \[\left[ {\matrix{{x = - 4} \cr {x = - 1} \cr {x = 1} \cr} } \right.\]

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số y đã cho đồng biến trên các khoảng [-; -4] và [-1; 1], nghịch biến trên các khoảng [-4; -1] và [1; +]

c] TXĐ: R

\[y' = 3{x^2} - 12x + 9\]

y'=0 \[\left[ {\matrix{{x = 1} \cr {x = 3} \cr} } \right.\]

y' > 0 trên các khoảng [-; 1], [3; +] nên y đồng biến trên các khoảng[-; 1], [3; +]

y'< 0 trên khoảng [1; 3] nên y nghịch biến trên khoảng [1; 3]

d] TXĐ: R

\[y' = 4{x^3} + 16 = 4x[{x^2} + 4]\]

y' = 0 x = 0

y' > 0 trên khoảng [0; +] => y đồng biến trên khoảng [0; +]

y' < 0 trên khoảng [-; 0] => y nghịch biến trên khoảng [-; 0]

Bài 1.2 trang 7 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a]\[y = {{3 - 2x} \over {x + 7}}\]

b]\[y = {1 \over {{{[x - 5]}^2}}}\]

c] \[y = {{2x} \over {{x^2} - 9}}\]

d] \[y = {{{x^4} + 48} \over x}\]

e]\[y = {{{x^2} - 2x + 3} \over {x + 1}}\]

g] \[y = {{{x^2} - 5x + 3} \over {x - 2}}\]

Hướng dẫn làm bài

a] TXĐ: R\ {-7}

\[y' = {{ - 17} \over {{{[x + 7]}^2}}}\]

y' < 0 trên các khoảng [-; -7], [-7; +] nên hàm số nghịch biến trên các khoảng đó

b] TXĐ: R\ {5}

\[y' = {{ - 2} \over {{{[x - 5]}^3}}}\]

y' < 0 trên khoảng [5; +] nên y nghịch biến trên khoảng [5; +]

y' > 0 trên khoảng [-; 5] nên y đồng biến trên khoảng [-; 5]

c] TXĐ: R\{-3; 3}

\[y' = {{ - 2[{x^2} + 9]} \over {{{[{x^2} - 9]}^2}}}\]

y' < 0 trên các khoảng [-; - 3], [-3; 3], [3; +] nên hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng đó.

d] TXĐ: R\ {0}

\[y' = {{3[{x^4} - 16]} \over {{x^2}}} = {{3[{x^2} - 4][{x^2} + 4]} \over {{x^2}}}\]

y' = 0 \[\left[ {\matrix{{x = - 2} \cr {x = 2} \cr} } \right.\]

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng [-; -2], [2; +] và nghịch biến trên các khoảng [-2; 0], [0; 2]

e] TXĐ: R \ {-1}

\[y' = {{{x^2} + 2x - 5} \over {{{[x + 1]}^2}}}\]

y' = 0 \[\left[ {\matrix{{x = - 1 - \sqrt 6 } \cr {x = - 1 + \sqrt 6 } \cr} } \right.\]

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \[[ - \infty ; - 1 - \sqrt 6 ],[ - 1 + \sqrt 6 ; + \infty ]\]

và nghịch biến trên các khoảng \[[ - 1 - \sqrt 6 ; - 1],[ - 1; - 1 + \sqrt 6 ]\]

g] TXĐ: R\ {2}

\[y' = {{{x^2} - 4x + 7} \over {{{[x - 2]}^2}}} > 0\]

[do \[{x^2} - 4x + 7\] có' = - 3 < 0]

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \[[ - \infty ;2],[2; + \infty ]\]

Bài 1.3 trang 8 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12

Xét tính đơn điệu của các hàm số:

a]\[y = \sqrt {25 - {x^2}} \]

b]\[y = {{\sqrt x } \over {x + 100}}\]

c]\[y = {x \over {\sqrt {16 - {x^2}} }}\]

d]\[y = {{{x^3}} \over {\sqrt {{x^2} - 6} }}\]

Hướng dẫn làm bài

a]TXĐ: [-5; 5]

\[y' = {{ - x} \over {\sqrt {25 - {x^2}} }}\] ;y = 0 x = 0

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng [-5; 0] nghịch biến trên khoảng [0; 5]

b] TXĐ: [0; +]

\[y' = {{100 - x} \over {2\sqrt x {{[x + 100]}^2}}}\] ;y = 0 x = 100

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng [0; 100] và nghịch biến trên khoảng [100; +]

c] TXĐ: [-4; 4]

\[y' = {{16} \over {[16 - {x^2}]\sqrt {16 - {x^2}} }} > 0\] ; x [-4; 4].

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng [-4; 4].

d] TXĐ: [-; \[\sqrt 6 \]] [\[\sqrt 6 \]; +]

\[y' = {{2{x^2}[{x^2} - 9]} \over {[{x^2} - 6]\sqrt {{x^2} - 6} }}\] ;y = 0 x = ±3

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng [-; -3], [3; +], nghịch biến trên các khoảng [-3;\[-\sqrt 6 \] ], [\[\sqrt 6 \]; 3].

Bài 1.4 Trang 8 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a]\[y = x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\], x [0; 2π].

b]\[y = x + 2\cos x\] ,x \[[{\pi \over 6};{{5\pi } \over 6}]\]

c]\[y = \sin {1 \over x}\] ,[x > 0]

Hướng dẫn làm bài

a]\[y = x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\], x [0; 2π].

\[y' = 1 - c{\rm{osx }}\] 0 với mọi x [0; 2π]

Dấu = xảy ra chỉ tại x = 0 và x = 2π.

Vậy hàm số đồng biến trên đoạn [0; 2π].

b]\[y = x + 2\cos x\] ,x \[[{\pi \over 6};{{5\pi } \over 6}]\]

\[y' = 1 - 2\sin x\] < 0 với x \[[{\pi \over 6};{{5\pi } \over 6}]\]

Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng\[[{\pi \over 6};{{5\pi } \over 6}]\]

c]Xét hàm số\[y = \sin {1 \over x}\] với x > 0.

\[y' = - {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over x}\]

Giải bất phương trình sau trên khoảng [0; +]:

\[{1 \over {{x^2}}}[ - \cos {1 \over x}] > 0\] ⟺\[\cos {1 \over x}\] < 0

⟺\[{\pi \over 2}[1 + 4k] < {1 \over x} < {\pi \over 2}[3 + 4k]\],k = 0, 1, 2 .

⟺\[{2 \over {\pi [1 + 4k]}} > x > {2 \over {\pi [3 + 4k]}}\] , k = 0, 1, 2 ..

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng

\[....,[{2 \over {[4k + 3]\pi }};{2 \over {[4k + 1]\pi }}],[{2 \over {[4k - 1]\pi }};{2 \over {[4k - 3]\pi }}],.....,\] \[[{2 \over {7\pi }};{2 \over {5\pi }}],[{2 \over {3\pi }};{2 \over \pi }]\]

Và nghịch biến trên các khoảng

, \[[{2 \over {[4k + 1]\pi }};{2 \over {[4k - 1]\pi }}],[{2 \over {5\pi }};{2 \over {3\pi }}],.....,[{2 \over \pi }; + \infty ]\]

với k = 0, 1, 2


Video liên quan

Bài Viết Liên Quan

Chủ Đề