Bài 20 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm số thực \[\alpha \], thỏa mãn từng điều kiện sau:
a] \[{1 \over 2}\left[ {{a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}} \right] = 1\,\,\left[ {a > 0} \right];\]
b] \[{3^{\left| \alpha \right|}} < 27.\]
Giải
a] \[{1 \over 2}\left[ {{a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}} \right] = 1 \Leftrightarrow {a^\alpha } + {a^{ - \alpha }} - 2 = 0 \]
\[\Leftrightarrow {\left[ {{a^{{\alpha \over 2}}} - {a^{ - {\alpha \over 2}}}} \right]^2} = 0 \Leftrightarrow {a^{{\alpha \over 2}}} = {a^{ - {\alpha \over 2}}}\][*]
- Nếu \[a \ne \,1\] thì [*] \[\Leftrightarrow {\alpha \over 2} = - {\alpha \over 2} \Leftrightarrow \alpha = 0\]
- Nếu \[a = 1\] thì [*] \[\Leftrightarrow \alpha \] là số thực tùy ý.
b] \[{3^{\left| \alpha \right|}} < 27 \Leftrightarrow {3^{\left| \alpha \right|}} < {3^3} \Leftrightarrow \left| \alpha \right| < 3 \Leftrightarrow - 3 < \alpha < 3.\]
Bài 21 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Giải các phương trình sau bằng cách đặt \[t = \root 4 \of x \]:
a] \[\sqrt x + \root 4 \of x = 2;\]
b] \[\sqrt x - 3\root 4 \of x + 2 = 0\].
Giải
a] Điều kiện \[x \ge 0\]
Đặt \[t = \root 4 \of x \left[ {t \ge 0} \right]\], ta được phương trình \[{t^2} + t = 2\].
Ta có
\[{t^2} + t = 2 \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = - 2\text{ loại } \hfill \cr} \right.\] \[\Leftrightarrow \root 4 \of x = 1 \Leftrightarrow x = 1\]
Vậy tập nghiệm phương trình là S =\[\left\{ 1 \right\}\]
b] Điều kiện \[x \ge 0\]. Đặt \[t = \root 4 \of x \,\,\left[ {t \ge 0} \right]\] ta được phương trình
\[{t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\root 4 \of x = 1 \hfill \cr
\root 4 \of x = 2 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = 16 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[S = \left\{ {1;16} \right\}\]
Bài 22 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Giải các bất phương trình sau:
\[a]{x^4} < 3;\] \[b]{x^{11}} \ge 7;\]
\[c]{x^{10}} > 2;\] \[d]{x^3} \le 5;\]
Giải
\[a]\,\,{x^4} < 3 \Leftrightarrow \left| x \right| < \root 4 \of 3 \Leftrightarrow - \root 4 \of 3 < x < \root 4 \of 3 \].
Tập nghiệm \[S = \left[ { - \root 4 \of 3 ;\root 4 \of 3 } \right]\]
\[b]\,\,{x^{11}} \ge 7 \Leftrightarrow x \ge \root {11} \of 7 ;\]
Vậy \[S = \left[ {\root {11} \of 7 ; + \infty } \right]\]
\[c]\,\,{x^{10}} > 2 \Leftrightarrow \left| x \right| > \root {10} \of 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x < - \root {10} \of 2 \hfill \cr
x > \root {10} \of 2 \hfill \cr} \right..\]
Vậy \[S = \left[ { - \infty ; - \root {10} \of 2 } \right] \cup \left[ {\root {10} \of 2 ; + \infty } \right]\]
\[d]\,\,{x^3} \le 5 \Leftrightarrow x \le \root 3 \of 5 \,\,\,\text{ Vậy } S = \left[ { - \infty ;\root 3 \of 5 } \right]\]