Câu 60 trang 166 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC, đường tròn [K] bằng tiếp góc trong góc A tiếp xúc với các tia AB và AC theo thứ tự tại E và F. Cho BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng:
a] \[AE = AF = {{a + b + c} \over 2}\]
b] \[BE = {{a + b - c} \over 2};\]
c] \[CF = {{a + c - b} \over 2}\]
Giải:
a] Gọi D là tiếp điểm của đường tròn [K] với cạnh BC.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
BE = BD; CD = CF
AE = AB + BE
AF = AC + CF
Suy ra: AE + AF = AB + BE + AC + CF
= AB + AC + [BD + DC]
= AB + AC + BC = c + b + a
Mà AE = AF [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau]
Suy ra: \[{\rm{AE = AF = }}{{a + b + c} \over 2}\]
b] Ta có: \[BE = AE AB = {{a + b + c} \over 2} - c = {{a + b - c} \over 2}\]
c] Ta có: \[CF = AF AC = {{a + b + c} \over 2} - b = {{a + c - b} \over 2}.\]
Câu 61* trang 166 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho nửa hình tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By [Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB]. Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D.
a] Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB.
b] Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất.
c] Tìm vị trí của C, D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14cm, biết AB = 4cm.
Giải:
a] Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:
Ax AB
By AB
Suy ra: Ax // By hay AC // BD
Suy ra tứ giác ABDC là hình thang
Gọi I là trung điểm của CD
Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ABDC
Suy ra: OI // AC OI AB
Vì OC và OD lần lượt là phân giác của \[\widehat {AOM}\] và \[\widehat {BOM}\] nên OC OD [ tính chất hai góc kề bù] \[ \Rightarrow \widehat {COD} = 90^\circ \]
Suy ra: \[IC = ID = IO = {1 \over 2}CD\] [ tính chất tam giác vuông]
Suy ra I là tâm đường tròn đường kính CD. Khi đó O nằm trên đường tròn tâm I đường kính CD và IO vuông góc với AB tại O.
Vậy đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB tại O.
b] Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
CA = CM
BD = DM
Suy ra: AC + BD = CM + DM = CD
Chu vi hình thang ABDC bằng:
AB + BD + DC + CA = AB + 2CD
Vì đường kính AB của [O] không thay đổi nên chu vi hình thang nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất.
Ta có: CD AB nên CD nhỏ nhất khi và chỉ khi CD = AB
Khi đó CD // AB OM AB
Vậy khi M là giao điểm của đường thẳn vuông góc với AB tại O với nửa đường tròn [O] thì hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất.
c] Chu vi hình thang ABDC bằng: AB + 2CD [chứng minh trên]
Suy ra: 14 = 4 + 2.CD CD = 5 [cm]
Hay CM + DM = 5 DM = 5 CM [1]
Tam giác COD vuông tại O có OM CD
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
OM2= CM.DM 22= CM.DM 4 = CM.DM [2]
Thay [1] và [2] ta có: CM.[5 CM] = 4
5CM CM2 4 = 0
4CM CM2+ CM 4 = 0
CM[4 CM] + [CM 4] = 0
CM[4 CM] [4 CM] = 0
[CM 1][4 CM] = 0
CM 1 = 0 hoặc 4 CM = 0
CM = 1 hoặc CM = 4
Vì CM = CA [chứng minh trên] nên AC = 1 [cm] hoặc AC = 4 [cm]
Vậy điểm C cách điểm A 1cm hoặc 4cm thì hình thang ABDC có chu vi bằng 14.
Câu 62* trang 166 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By [Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB]. Qua một điểm M thuộc nửa hình tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D. Gọi N là giao điểm của AD và BC, H là giao điểm của MN và AB. Chứng minh rằng:
a] MN AB;
b] MN = NH.
Giải:
a] Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:
Ax AB
By AB
Suy ra: Ax // By hay AC // BD
Trong tam giác BND, ta có: AC // BD
Suy ra: \[{{ND} \over {NA}} = {{BD} \over {AC}}\] [Hệ quả định lí Ta-lét] [1]
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AC = CM và BD = DM [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[{{ND} \over {NA}} = {{MD} \over {MC}}\]
Trong tam giác ACD, ta có: \[{{ND} \over {NA}} = {{MD} \over {MC}}\]
Suy ra: MN // AC [ Theo định lí đảo định lí Ta-lét]
Mà: AC AB [vì Ax AB]
Suy ra: MN AB
b] Trong tam giác ACD, ta có: MN // AC
Suy ra: \[{{MN} \over {AC}} = {{DN} \over {DA}}\] [Hệ quả định lí Ta-lét] [3]
Trong tam giác ABC, ta có: MH // AC [ vì M, N, H thẳng hàng]
Suy ra: \[{{HN} \over {AC}} = {{BN} \over {BC}}\] [Hệ quả định lí Ta-lét] [4]
Trong tam giác BDN, ta có: AC // BD
Suy ra: \[{{ND} \over {NA}} = {{BN} \over {NC}}\] [Hệ quả định lí Ta-lét]
\[ \Rightarrow {{ND} \over {DN + NA}} = {{BN} \over {BN + NC}} \Leftrightarrow {{ND} \over {DA}} = {{BN} \over {BC}}\] [5]
Từ [3], [4] và [5] suy ra: \[{{MN} \over {AC}} = {{HN} \over {AC}} \Rightarrow MN = HN\].
Câu 63* trang 166 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh rằng:
\[{S_{ABC}} = BD.DC\]
Giải:
Gọi E và F lần lượt là tiếp điểm của đường
tròn với AB và AC.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AE = AF
BE = BD
CD = CF
BD = BC + CD
BE = AB AE
Suy ra: BD + BE = AB + BC [AE + CD ]
= AB + BC [AE + CE]
= AB + BC AC
Suy ra: \[BD = {{AB + BC - AC} \over 2}\]
Lại có: CD = BC BD
CF = AC = AF
Suy ra: CD + CF = BC + AC [ BD + AF]
= BC + AC [BE + AE]
= BC + AC BA
Suy ra: \[CD = {{BC + AC - AB} \over 2}\]
Ta có: \[BD.CD = {{AB + BC - AC} \over 2}.{{BC + AC - AB} \over 2}\]
\[= {{\left[ {BC - [AC - AB]} \right]\left[ {BC + [AC - AB]} \right]} \over 4}\]
\[={{B{C^2} - {{[AC - AB]}^2}} \over 4} = {{B{C^2} - A{C^2} - A{B^2} + 2AB.AC} \over 4}\] [1]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:
BC2= AB2+ AC2 [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[BD.CD = {{2AB.AC} \over 4} = {{AB.AC} \over 2}\]
Mà \[{S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC\]
Vậy \[{S_{ABC}} = BD.DC.\]