Giải bài 60, 61, 62, 63 trang 166 sách bài tập toán 9 tập 2 - Câu trang Sách bài tập (SBT) Toán Tập

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By [Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB]. Qua một điểm M thuộc nửa hình tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D. Gọi N là giao điểm của AD và BC, H là giao điểm của MN và AB. Chứng minh rằng:

Câu 60 trang 166 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1

Cho tam giác ABC, đường tròn [K] bằng tiếp góc trong góc A tiếp xúc với các tia AB và AC theo thứ tự tại E và F. Cho BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng:

a] \[AE = AF = {{a + b + c} \over 2}\]

b] \[BE = {{a + b - c} \over 2};\]

c] \[CF = {{a + c - b} \over 2}\]

Giải:

a] Gọi D là tiếp điểm của đường tròn [K] với cạnh BC.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

BE = BD; CD = CF

AE = AB + BE

AF = AC + CF

Suy ra: AE + AF = AB + BE + AC + CF

= AB + AC + [BD + DC]

= AB + AC + BC = c + b + a

Mà AE = AF [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau]

Suy ra: \[{\rm{AE = AF = }}{{a + b + c} \over 2}\]

b] Ta có: \[BE = AE AB = {{a + b + c} \over 2} - c = {{a + b - c} \over 2}\]

c] Ta có: \[CF = AF AC = {{a + b + c} \over 2} - b = {{a + c - b} \over 2}.\]

Câu 61* trang 166 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1

Cho nửa hình tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By [Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB]. Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D.

a] Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB.

b] Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất.

c] Tìm vị trí của C, D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14cm, biết AB = 4cm.

Giải:

a] Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:

Ax AB

By AB

Suy ra: Ax // By hay AC // BD

Suy ra tứ giác ABDC là hình thang

Gọi I là trung điểm của CD

Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ABDC

Suy ra: OI // AC OI AB

Vì OC và OD lần lượt là phân giác của \[\widehat {AOM}\] và \[\widehat {BOM}\] nên OC OD [ tính chất hai góc kề bù] \[ \Rightarrow \widehat {COD} = 90^\circ \]

Suy ra: \[IC = ID = IO = {1 \over 2}CD\] [ tính chất tam giác vuông]

Suy ra I là tâm đường tròn đường kính CD. Khi đó O nằm trên đường tròn tâm I đường kính CD và IO vuông góc với AB tại O.

Vậy đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB tại O.

b] Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

CA = CM

BD = DM

Suy ra: AC + BD = CM + DM = CD

Chu vi hình thang ABDC bằng:

AB + BD + DC + CA = AB + 2CD

Vì đường kính AB của [O] không thay đổi nên chu vi hình thang nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất.

Ta có: CD AB nên CD nhỏ nhất khi và chỉ khi CD = AB

Khi đó CD // AB OM AB

Vậy khi M là giao điểm của đường thẳn vuông góc với AB tại O với nửa đường tròn [O] thì hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất.

c] Chu vi hình thang ABDC bằng: AB + 2CD [chứng minh trên]

Suy ra: 14 = 4 + 2.CD CD = 5 [cm]

Hay CM + DM = 5 DM = 5 CM [1]

Tam giác COD vuông tại O có OM CD

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

OM­2= CM.DM 22= CM.DM 4 = CM.DM [2]

Thay [1] và [2] ta có: CM.[5 CM] = 4

5CM CM2 4 = 0

4CM CM2+ CM 4 = 0

CM[4 CM] + [CM 4] = 0

CM[4 CM] [4 CM] = 0

[CM 1][4 CM] = 0

CM 1 = 0 hoặc 4 CM = 0

CM = 1 hoặc CM = 4

Vì CM = CA [chứng minh trên] nên AC = 1 [cm] hoặc AC = 4 [cm]

Vậy điểm C cách điểm A 1cm hoặc 4cm thì hình thang ABDC có chu vi bằng 14.

Câu 62* trang 166 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By [Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB]. Qua một điểm M thuộc nửa hình tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D. Gọi N là giao điểm của AD và BC, H là giao điểm của MN và AB. Chứng minh rằng:

a] MN AB;

b] MN = NH.

Giải:

a] Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:

Ax AB

By AB

Suy ra: Ax // By hay AC // BD

Trong tam giác BND, ta có: AC // BD

Suy ra: \[{{ND} \over {NA}} = {{BD} \over {AC}}\] [Hệ quả định lí Ta-lét] [1]

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AC = CM và BD = DM [2]

Từ [1] và [2] suy ra: \[{{ND} \over {NA}} = {{MD} \over {MC}}\]

Trong tam giác ACD, ta có: \[{{ND} \over {NA}} = {{MD} \over {MC}}\]

Suy ra: MN // AC [ Theo định lí đảo định lí Ta-lét]

Mà: AC AB [vì Ax AB]

Suy ra: MN AB

b] Trong tam giác ACD, ta có: MN // AC

Suy ra: \[{{MN} \over {AC}} = {{DN} \over {DA}}\] [Hệ quả định lí Ta-lét] [3]

Trong tam giác ABC, ta có: MH // AC [ vì M, N, H thẳng hàng]

Suy ra: \[{{HN} \over {AC}} = {{BN} \over {BC}}\] [Hệ quả định lí Ta-lét] [4]

Trong tam giác BDN, ta có: AC // BD

Suy ra: \[{{ND} \over {NA}} = {{BN} \over {NC}}\] [Hệ quả định lí Ta-lét]

\[ \Rightarrow {{ND} \over {DN + NA}} = {{BN} \over {BN + NC}} \Leftrightarrow {{ND} \over {DA}} = {{BN} \over {BC}}\] [5]

Từ [3], [4] và [5] suy ra: \[{{MN} \over {AC}} = {{HN} \over {AC}} \Rightarrow MN = HN\].

Câu 63* trang 166 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh rằng:

\[{S_{ABC}} = BD.DC\]

Giải:

Gọi E và F lần lượt là tiếp điểm của đường

tròn với AB và AC.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AE = AF

BE = BD

CD = CF

BD = BC + CD

BE = AB AE

Suy ra: BD + BE = AB + BC [AE + CD ]

= AB + BC [AE + CE]

= AB + BC AC

Suy ra: \[BD = {{AB + BC - AC} \over 2}\]

Lại có: CD = BC BD

CF = AC = AF

Suy ra: CD + CF = BC + AC [ BD + AF]

= BC + AC [BE + AE]

= BC + AC BA

Suy ra: \[CD = {{BC + AC - AB} \over 2}\]

Ta có: \[BD.CD = {{AB + BC - AC} \over 2}.{{BC + AC - AB} \over 2}\]

\[= {{\left[ {BC - [AC - AB]} \right]\left[ {BC + [AC - AB]} \right]} \over 4}\]

\[={{B{C^2} - {{[AC - AB]}^2}} \over 4} = {{B{C^2} - A{C^2} - A{B^2} + 2AB.AC} \over 4}\] [1]

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

BC2= AB2+ AC2 [2]

Từ [1] và [2] suy ra: \[BD.CD = {{2AB.AC} \over 4} = {{AB.AC} \over 2}\]

Mà \[{S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC\]

Vậy \[{S_{ABC}} = BD.DC.\]

Video liên quan

Bài Viết Liên Quan

Chủ Đề