Bài 1.17 trang 16 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Xác định m để hàm số: \[y = {x^3} - m{x^2} + [m - {2 \over 3}]x + 5\] có cực trị tại x = 1. Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương ứng.
Hướng dẫn làm bài:
\[y = {x^3} - m{x^2} + [m - {2 \over 3}]x + 5\]
Ta biết hàm số y = f[x] có cực trị khi phương trình y = 0 có nghiệm và y đổi dấu khi qua các nghiệm đó.
Ta có:
Xét y = 0, ta có: \[y' = 3{x^2} - 2mx + [m - {2 \over 3}]\]
> 0 khi m < 1 hoặc m > 2 [*]
Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì
\[y'[1] = 3 - 2m + m - {2 \over 3} = 0 < = > m = {7 \over 3}\], thỏa mãn điều kiện [*]
Với \[m = {7 \over 3}\]thì hàm số đã cho trở thành:
\[y = {x^3} - {7 \over 3}{x^2} + {5 \over 3}x + 5\]
Ta có:
\[\eqalign{
& y' = 3{x^2} - {{14} \over 3}x + {5 \over 3} \cr
& y'' = 6x - {{14} \over 3} \cr} \]
Vì \[y''[1] = 6 - {{14} \over 3} > 0\] nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và \[{y_{CT}} = {y_{\left[ 1 \right]}} = {{16} \over 3}.\]
Bài 1.18 trang 16 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Chứng minh rằng hàm số:
\[f[x] = \left\{ \matrix{
- 2x,\forall x \ge 0 \hfill \cr
\sin {x \over 2},\forall x < 0 \hfill \cr} \right.\]
Không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực đại tại điểm đó.
Hướng dẫn làm bài:
Hàm số:
\[f[x] = \left\{ \matrix{
- 2x,\forall x \ge 0 \hfill \cr
\sin {x \over 2},\forall x < 0 \hfill \cr} \right.\]
Không có đạo hàm tại x = 0 vì:
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f[x] - f[0]} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{ - 2x} \over x} = - 2 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f[x] - f[0]} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{ - 2x} \over x} = - 2 \cr} \]
Mặt khác, với x < 0 thì \[y' = {1 \over 2}\cos {x \over 2}\], với x > 0 thì y = -2 < 0
Bảng biến thiên:
Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ= y[0] = 0.
Bài 1.19 trang 16 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Xác định giá trị m để hàm số sau không có cực trị.
\[y = {{{x^2} + 2mx - 3} \over {x - m}}\]
Hướng dẫn làm bài:
Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của nó không đổi dấu trên tập xác định \[D=\mathbb R\backslash {\rm{\{ }}m{\rm{\} }}\]
Ta có:
\[\eqalign{
& y = {{{x^2} + 2mx - 3} \over {x - m}} \cr
& y' = {{[2x + 2m][x - m] - [{x^2} + 2mx - 3]} \over {{{[x - m]}^2}}} \cr
& = {{2{x^2} - 2{m^2} - {x^2} - 2mx + 3} \over {{{[x - m]}^2}}} = {{{x^2} - 2mx - 2{m^2} + 3} \over {{{[x - m]}^2}}} \cr} \]
Xét g[x] = x2 2mx 2m2+ 3
g= m2+ 2m2 3 = 3[m2 1] ;
g 0 khi 1 m 1.
Khi 1 m 1 thì phương trình g[x] = 0 vô nghiệm hay y = 0 vô nghiệm và y > 0 trên tập xác định. Khi đó, hàm số không có cực trị.
Khi m = 1 hoặc m = -1, hàm số đã cho trở thành y = x + 3 [với x 1] hoặc y = x 3 [với x - 1] Các hàm số này không có cực trị.
Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi 1 m 1.