Câu 32 trang 12 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Tìm giá trị của m để đường thẳng [d]: \[y = \left[ {2m - 5} \right]x - 5m\]đi qua giao điểm của hai đường thẳng \[\left[ {{d_1}} \right]:2x + 3y = 7\]và\[\left[ {{d_2}} \right]:3x + 2y = 13\]
Giải
Tọa độ giao điểm M của [d1] và [d2] là nghiệm của hệ phương trình:
\[\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{2x + 3y = 7} \cr
{3x + 2y = 13} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{4x + 6y = 14} \cr
{9x + 6y = 39} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{5x = 25} \cr
{3x + 2y = 13} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 5} \cr
{3.5 + 2y = 13} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 5} \cr
{y = - 1} \cr} } \right. \cr} \]
Tọa độ M [5; -1]
Đường thẳng \[\left[ d \right]:y = \left[ {2m - 5} \right]x - 5m\]đi qua M[5; -1] nên tọa độ của M nghiệm đúng phương trình đường thẳng:
\[\eqalign{
& - 1 = \left[ {2m - 5} \right].5 - 5m \Leftrightarrow - 1 = 10m - 25 - 5m \cr
& \Leftrightarrow 5m = 24 \Leftrightarrow m = 4,8 \cr} \]
Vậy với m = 4,8 thì đường thẳng [d] đi qua giao điểm của [d1] và [d2].
Câu 33 trang 12 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Tìm giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng quy:
\[\eqalign{
& \left[ {{d_1}} \right]:5x + 11y = 8 \cr
& \left[ {{d_2}} \right]:10x - 7y = 74 \cr
& \left[ {{d_3}} \right]:4mx + \left[ {2m - 1} \right]y = m + 2 \cr} \]
Giải
Tọa độ giao điểm của [d1] và [d2] là nghiệm của hệ phương trình:
\[\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{5x + 11y = 8} \cr
{10x - 7y = 74} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{10x + 22y = 16} \cr
{10x - 7y = 74} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{29y = - 58} \cr
{5x + 11y = 8} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - 2} \cr
{5x + 11.\left[ { - 2} \right] = 8} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - 2} \cr
{5x = 30} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - 2} \cr
{x = 6} \cr} } \right. \cr} \]
Tọa độ giao điểm của [d1] và [d2] là [x; y] = [6; -2]
Để ba đường thẳng đồng quy thì đường thẳng [d3] phải đi qua giao điểm của hai đường thẳng [d1] và [d2] nên cặp [6; -2] nghiệm đúng phương trình đường thẳng [d3].
Thay x = 6; y = -2 ta có:
\[\eqalign{
& 24m + \left[ {2m - 1} \right]\left[ { - 2} \right] = m + 2 \cr
& \Leftrightarrow 24m - 4m + 2 = m + 2 \cr
& \Leftrightarrow 19m = 0 \cr
& \Leftrightarrow + = 0 \cr} \]
Vậy với m = 0 thì ba đường thẳng [d1], [d2], [d3] đồng quy tại điểm có tọa độ [6; -2].
Câu 34 trang 12 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Nghiệm chung của ba phương trình đã cho được gọi là nghiệm của hệ gồm ba phương trình ấy. Giải hệ phương trình là tìm nghiệm chung của tất cả các phương trình trong hệ. Hãy giải các hệ phương trình sau:
\[a]\left\{ {\matrix{
{3x + 5y = 34} \cr
{4x - 5y = - 13} \cr
{5x - 2y = 5} \cr} } \right.\]
\[b]\left\{ {\matrix{
{6x - 5y = - 49} \cr
{ - 3x + 2y = 22} \cr
{7x + 5y = 10} \cr} } \right.\]
Giải
\[a]\left\{ {\matrix{
{3x + 5y = 34} \cr
{4x - 5y = - 13} \cr
{5x - 2y = 5} \cr} } \right.\]
Ta giải hệ phương trình:
\[\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{3x + 5y = 34} \cr
{4x - 5y = - 13} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{7x = 21} \cr
{4x - 5y = - 13} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 3} \cr
{4.3 - 5y = - 13} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 3} \cr
{ - 5y = - 25} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 3} \cr
{y = 5} \cr} } \right. \cr} \]
Thay x = 3 và y = 5 vào vế trái phương trình [3]:
\[5.3 - 2.5 = 15 - 10 = 5\]
Vậy cặp nghiệm [x; y] = [3; 5] là nghiệm của phương trình [3].
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm [x; y] = [3;5]
\[b]\left\{ {\matrix{
{6x - 5y = - 49} \cr
{ - 3x + 2y = 22} \cr
{7x + 5y = 10} \cr} } \right.\]
Ta giải hệ phương trình:
\[\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{6x - 5y = - 49} \cr
{7x + 5y = 10} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{13x = - 39} \cr
{7x + 5y = 10} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = - 3} \cr
{7.\left[ { - 3} \right] + 5y = 10} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = - 3} \cr
{y = {{31} \over 5}} \cr} } \right. \cr} \]
Thay x = -3; \[y = {{31} \over 5}\]vào vế trái phương trình [2]:
\[- 3.\left[ { - 3} \right] + 2.{{31} \over 5} = 9 + {{62} \over 5} = {{107} \over 5} \ne 22\]
Vậy cặp \[\left[ {x = - 3;y = {{31} \over 5}} \right]\]không phải là nghiệm của phương trình [2].
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.