Bài 12 trang 128 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Tính tổng:
a] \[{S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + ... + n{a^{n - 1}}\]
b] \[{S_n} = 1.x + 2.{x^2} + 3.{x^3} + ... + n{x^n}\]
Giải:
a] HD: Với a = 1 ta có \[{S_n} = 1 + 2 + 3 + ... + n = {{n\left[ {n + 1} \right]} \over 2}\]
Giả sử a 1. Nhân hai vế của hệ thức \[{S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + ... + n{a^{n - 1}}\]với a và tính hiệu
\[{S_n} - a{S_n} = \left[ {1 - a} \right]{S_n}\]
Từ đó, ta tính được \[{S_n} = {{n{a^{n + 1}} - \left[ {n + 1} \right]{a^n} + 1} \over {{{\left[ {a - 1} \right]}^2}}}\]
b] Làm tương tự như câu a].
Bài 13 trang 128 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Tìm m để phương trình \[{x^4} - \left[ {3m + 5} \right]{x^2} + {\left[ {m + 1} \right]^2} = 0\]có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng.
Giải:
Đặt \[{x^4} = y\]ta có phương trình
\[{y^2} - \left[ {3m + 5} \right]y + {\left[ {m + 1} \right]^2} = 0\] [1]
Để phương trình có 4 nghiệm thì phương trình [1] phải có 2 nghiệm dương \[{y_1},{y_2}{\rm{ }}\left[ {{y_1} < {y_2}} \right]\]Bốn nghiệm đó là \[- \sqrt {{y_2}} , - \sqrt {{y_1}} ,\sqrt {{y_1}} ,\sqrt {{y_2}} \].
Điều kiện để 4 nghiệm trên lập thành cấp số cộng là \[\sqrt {{y_2}} - \sqrt {{y_1}} = 2\sqrt {{y_1}} \] hay \[{y_2} = 9{y_1}\] kết hợp vớiđịnh lí Vi-ét tìm được m = 5 và \[m = - {{25} \over {19}}\]