Câu 12.4 trang 32 Sách Bài Tập SBT Toán lớp 7 tập 1
Tích của một số vô tỉ và một số hữu tỉ là một số vô tỉ hay hữu tỉ?
Giải
Gọi a là số vô tỉ, b là số hữu tỉ khác 0.
Tích ab là số vô tỉ vì nếu ab = b' là số hữu tỉ thì a = \[{{b'} \over b}\]suy ra a là số hữu tỉ, vô lí.
Câu 12.5 trang 32 Sách Bài Tập SBT Toán lớp 7 tập 1
Cho x > y > 0. Chứng minh rằng x3 > y3.
Giải
Từ x > y > 0 ta có:
\[x > y \Rightarrow xy > {y^2}\] [1]
\[x > y \Rightarrow {x^2} > xy\0 [2]
Từ [1] và [2] suy ra x2 > y2.
\[{x^2} > {y^2} \Rightarrow {x^3} > x{y^2}\] [3]
\[x > y \Rightarrow x{y^2} > {y^3}\] [4]
Từ [3] và [4] suy ra x3 > y3.
Câu 12.6 trang 32 Sách Bài Tập SBT Toán lớp 7 tập 1
Chứng minh rằng nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì a là số vô tỉ.
Giải
Giả sử a là số hữu tỉ thì a viết được thành \[\sqrt a = {m \over n}\]với m, n N, [n 0] và ƯCLN [m, n] = 1
Do a không phải là số chính phương nên \[{m \over n}\]không phải là số tự nhiên, do đó n > 1.
Ta có m2 = an2. Gọi p là một ước nguyên tố của n thì m2 p, do đó m p. Như vậy p là ước nguyên tố của m và n, trái với giả thiết ƯCLN [m, n] = 1. Vậy a là số vô tỉ.