Câu 13 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \[f[x] = x + {2 \over {x - 1}}\]với x > 1
Đáp án
Vì x > 1 nên x 1 và \[{2 \over {x - 1}}\]là hai số dương.
Do đó:
\[f[x] = x + {2 \over {x + 1}} = 1 + [x - 1] + {2 \over {x - 1}} \ge 1 + 2\sqrt {[x - 1]{2 \over {x - 1}}} = 1 + 2\sqrt 2 \]
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \[x - 1 = {2 \over {x - 1}} \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2 \]
Vậy giá trị nhỏ nhất của f[x] là \[f[1 + \sqrt 2 ] = 1 + 2\sqrt 2 \]
Câu 14 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số dương thì: \[{{{a^4}} \over b} + {{{b^4}} \over c} + {{{c^4}} \over a} \ge 3abc\]
Đáp án
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương ta có:
\[{{{a^4}} \over b} + {{{b^4}} \over c} + {{{c^4}} \over a} \ge 3\root 3 \of {{{{a^4}} \over b}.{{{b^4}} \over c}.{{{c^4}} \over a}} = 3abc\]
Dấu =xảy ra \[\Leftrightarrow {{{a^4}} \over b} = {{{b^4}} \over c} = {{{c^4}} \over a} \Leftrightarrow a = b = c\]
Câu 15 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao
Một khách hàng đến một cửa hàng bán hoa quả mua 2kg cam đã yêu cầu cân hai lần. Lần đầu, người bán hàng đặt quả cân 1kg lên đĩa cân bên phải và đặt cam lên đĩa cân bên trái cho đến khi cân thăng bằng và lần sau, đặt quả cân 1kg lên đĩa cân bên trái và cam lên đĩa cân bên phải cho đến khi cân thăng bằng. Nếu cái cân đĩa đó không chính xác [do hai cánh tay đòn dài, ngắn khác nhau] nhưng quả cân là đúng 1kg thì khách hàng có mua được đúng 2kg cam hay không? Vì sao?
Giải
Gọi a và b theo thứ tự là độ dài cánh tay đòn bên phải và bên trái của cái cân đĩa [a > 0; b > 0; đơn vị: cm]
Trong lần cân đầu, khối lượng cam được cân là \[{a \over b}\][kg]
Trong lần cân thứ hai, khối lượng cam được cân là \[{b \over a}\][kg]
Do đó, khối lượng cam được cân cả hai lần là \[[{a \over b} + {b \over a}]\,[kg]\]
Nếu cái cân đĩa đó không chính xác, tức a b, thì vì \[{a \over b} + {b \over a} > 2\]nên khách hàng mua được nhiều hơn 2kg cam.
Câu 16 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:
a] \[{1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + {1 \over {3.4}} + ....\, + {1 \over {n[n + 1]}} < 1\]
Hướng dẫn: Viết: \[{1 \over {1.2}} = 1 - {1 \over 2};\,{1 \over {2.3}} = {1 \over 2} - {1 \over 3};\,....\,\,\,\]
b] \[{1 \over {{1^2}}} + {1 \over {{2^2}}} + {1 \over {{3^2}}} + ....\, + {1 \over {{n^2}}} < 2\]
Đáp án
a] Ta có: \[{1 \over {k[k + 1]}} = {{[k + 1] - k} \over {k[k + 1]}} = {1 \over k} - {1 \over {k + 1}}\,\,\,\forall k \ge 1\]
Do đó:
\[\eqalign{
& {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + {1 \over {3.4}} + ....\, + {1 \over {n[n + 1]}} \cr&= 1 - {1 \over 2} + {1 \over 2} - {1 \over 3} + ... + {1 \over n} - {1 \over {n + 1}} \cr
& = 1 - {1 \over {n + 1}} < 1 \cr} \]
b] Ta có: \[{1 \over {{k^2}}} < {1 \over {k[k - 1]}} \Rightarrow {1 \over {{k^2}}} < {1 \over {k - 1}} - {1 \over k}\,\,\,[k \le 2]\]
Do đó:
\[\eqalign{
& {1 \over {{1^2}}} + {1 \over {{2^2}}} + {1 \over {{3^2}}} + ....\, + {1 \over {{n^2}}}< \cr& 1 + [1 - {1 \over 2} + {1 \over 2} - {1 \over 3} + ... + {1 \over {n - 1}} - {1 \over n}] \cr
& \Rightarrow {1 \over {{1^2}}} + {1 \over {{2^2}}} + ... + {1 \over {{n^2}}} < 2 - {1 \over n} < 2 \cr} \]