Bài 1.35 trang 39 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho đường tròn [C]và hai điểm cố định phân biệt A, B thuộc [C]. Với mỗi điểm M chạy trên đường tròn [trừ hai điểm A, B], ta xét điểm N sao cho ABMN là hình bình hành. Chứng minh rằng tập hợp các điểm Ncũng nằm trên một đường tròn xác định.
Giải:
Tập hợp các điểm N thuộc đường tròn [C'] là ảnh của [C] qua phép đối xứng qua trung điểm của AB.
Bài 1.36 trang 39 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho hai đường tròn có cùng tâm O, bán kính lần lượt là R và \[r,\left[ {R > r} \right]\]. Alà một điểm thuộc đường tròn bán kính r. Hãy dựng đường thẳng qua Acắt đường tròn bán kính rtại B, cắt đường tròn bán kính R tại C, D sao cho \[CD = 3AB\].
Giải:
Gọi [C] là đường tròn tâm O bán kính r, \[[C_1]\] là đường tròn tâm O bán kính R. Giả sử đường thẳng đã dựng được. Khi đó có thể xem D là ảnh của B qua phép đối xứng tâm A. Gọi [C'] là ảnh của [C] qua phép đối xứng qua tâm A, thì D thuộc giao của [C'] và \[[C_1]\]. Số nghiệm của bài toán phụ thuộc vào số giao điểm của [C'] với \[[C_1]\].
Bài 1.37 trang 39 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Trong mặt phẳng Oxycho đường thẳng dcó phương trình \[x + y - 2 = 0\]. Hãy viết phương trình của đường thẳng dlà ảnh của d qua phép quay tâm Ogóc 45°.
Giải:
Dễ thấy d chứa điểm \[H\left[ {1;1} \right]\]và \[OH \bot d\]. Gọi H' là ảnh của H qua phép quay tâm O góc 45°thì \[H' = \left[ {0;\sqrt 2 } \right]\]. Từ đó suy ra d' phải qua H' và vuông góc với OH'. Vậy phương trình của d' là \[y = \sqrt 2 \].
Bài 1.38 trang 40 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Qua tâm G của tam giác đều ABC, kẻ đường thẳng a cắt BC tại Mvà cắt ABtại N, kẻ đường thẳng b cắt AC tại P và AB tại Q, đồng thời góc giữa a và b bằng 60°. Chứng minh rằng tứ giác MNPQlà một hình thang cân.
Giải:
Gọi \[{Q_{\left[ {G;{{120}^0}} \right]}}\]là phép quay tâm G góc \[120^0\]. Phép quay này biến b thành a, biến CA thành AB; do đó nó biến P thành N.
Tương tự \[{Q_{\left[ {G;{{120}^0}} \right]}}\]cũng biến Q thành M. Từ đó suy ra \[GP = GN,GQ = GM\]. Do đó hai tam giác GNQvà GPMbằng nhau, suy ra NQ = PM. Vì \[{Q_{\left[ {G;{{120}^0}} \right]}}\]biến PQthành NM nên \[PQ = NM\]. Từ đó suy ra hai tam giác \[NQM\]và \[PMQ\]bằng nhau. Do đó \[\widehat {NQM} = \widehat {PMQ}\]. Tương tự \[\widehat {QNP} = \widehat {MPN}\].
Từ đó suy ra \[\widehat {PNQ} + \widehat {NQM} = {180^0}\]
Do đó \[NP\parallel QM\]. Vậy ta có tứ giác \[MPNQ\]là hình thang cân.