Bài 1.5 trang 100 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có
a] \[{2^n} > 2n + 1\];
b] \[{2^n} > {n^2} + 4n + 5\];
c] \[{3^n} > {2^n} + 7n\]?
Giải:
Đây thực chất là bài toán giải bất phương trình trên N*.
Phương pháp : Có thể dùng phép thử, sau đó dựđoán kết quả và chứng minh.
a] Dùng phép thử với n = 1, 2, 3, 4 ta dự đoán: Vớithì \[n \ge 3\]bất đẳng thức đúng. Ta sẽ chứng minh điềuđó bằng quy nạp.
Với n = 3 hiển nhiên đã có kết quả đúng, vì 23= 8 > 2.3 + 1 = 7
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k tức là \[{2^k} > 2k + 1\] [1]
ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là
\[{2^{k + 1}} > 2k + 3\] [2]
Thật vậy, nhân hai vế của [1] với 2, ta được
\[{2^{k + 1}} > 4k + 2 = 2k + 3 + 2k - 1 > 2k + 3.\]
b] HD: Dùng phép thử.
Vớin từ 1 đến 6, bất đẳng thức đều không đúng. Tuy nhiên không thể vội vàng kết luận bất phương trình vô nghiệm.
Nếu thử tiếp ta thấy rằng bất phương trình đúng khi n = 7. Ta có thể làm tiếp để đi tới dự đoán: Vớithì bất phương trình được nghiệm đúng. Sau đó chứng minh tương tự như câu a].
c] Làm tương tự như câu a] và câu b].
Bài 1.6 trang 100 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Cho tổng
\[{S_n} = {1 \over {1.5}} + {1 \over {5.9}} + {1 \over {9.13}} + ... + {1 \over {\left[ {4n - 3} \right]\left[ {4n + 1} \right]}}\]
a] Tính \[{S_1},{ S _2},{S_3},{S_4}\];
b] Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Giải:
a] Tính
\[{S_1} = {1 \over 5},{S_2} = {2 \over 9},{S_3} = {3 \over {13}},{S_4} = {4 \over {17}}\]
b] Viết lại
\[\eqalign{
& S = {1 \over 5} = {1 \over {4.1 + 1}},{S_2} = {2 \over 9} = {2 \over {4.2 + 1}}, \cr
& {S_3} = {3 \over {4.3 + 1}},{S_4} = {4 \over {4.4 + 1}}. \cr} \]
Ta có thể dự đoán \[{S_n} = {n \over {4n + 1}}\]
Bài 1.7 trang 100 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Cho n số thực \[{a_1},{a_2},...,{a_n}\]thoả mãn điều kiện
\[ - 1 < {a_i} \le 0\]với \[i = \overline {1,n} \]
Chứng minh rằng với mọi n N*, ta có
\[\left[ {1 + {a_1}} \right]\left[ {1 + {a_2}} \right]...\left[ {1 + {a_n}} \right] \ge 1 + {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}\]
Giải:
Với n = 1 bất đẳng thức đúng.
Giả sử bất đẳng thức đúng với \[n = k \ge 1\]tức là
\[\left[ {1 + {a_1}} \right]\left[ {1 + {a_2}} \right]...\left[ {1 + {a_k}} \right] \ge 1 + {a_1} + {a_2} + ... + {a_k}\] [1]
Nhân hai vế của [1] với \[1 + {a_{k + 1}}\]ta được
\[\eqalign{
& \left[ {1 + {a_1}} \right]\left[ {1 + {a_2}} \right] \ldots \left[ {1 + {a_k}} \right]\left[ {1 + {a_{k + 1}}} \right] \ge \left[ {1 + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n}} \right]\left[ {1 + {a_{k + 1}}} \right] \cr
& = 1 + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_k} + {a_{k + 1}} + {a_1}{a_{k + 1}} + {a_2}{a_{k + 1}} + \ldots + {a_k}{a_{k + 1}} \cr}\]
Vì \[{a_1}{a_{k + 1}} + {a_2}{a_{k + 1}} + ... + {a_k}.{a_{k + 1}} > 0\]nên
\[\left[ {1 + {a_1}} \right]\left[ {1 + {a_2}} \right]...\left[ {1 + {a_k}} \right]\left[ {1 + {a_{k + 1}}} \right] \ge 1 + {a_1} + {a_2} + ... + {a_k} + {a_{k + 1}}\], nghĩa là bất đẳng thức đúng với \[n = k + 1.\]
Bài 1.8 trang 100 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng với các số thực \[{a_1},{a_2},{a_3},...,{a_n}\left[ {n \in N*} \right]\],ta có
\9\left| {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right| \le \left| {{a_1}} \right| + \left| {{a_2}} \right| + ... + \left| {{a_n}} \right|\]
Giải:
Với n = 1 thì \[\left| {{a_1}} \right| = \left| {{a_1}} \right|\]
Với n = 2 thì \[\left| {{a_1} + {a_2}} \right| \le \left| {{a_1}} \right| + \left| {{a_2}} \right|\].Đây là bất đẳng thức khá quen thuộc và dấu bằng xảy ra khi \[{a_1},{a_2}$\]cùng dấu.
Giả sử bất đẳng thức đúng với \[n = k \ge 2\] .Đặt \[{a_1} + {a_2} + ... + {a_k} = A\]ta có
\[\left| A \right| \le \left| {{a_1}} \right| + \left| {{a_2}} \right| + ... + \left| {{a_k}} \right|\] [1]
Mà \[\left| {A + {a_{k + 1}}} \right| \le \left| A \right| + \left| {{a_{k + 1}}} \right| \le \left| {{a_1}} \right| + \left| {{a_2}} \right| + ... + \left| {{a_k}} \right| + \left| {{a_{k + 1}}} \right|\]
Nên \[\left| {{a_1} + {a_2} + ... + {a_k} + {a _{k + 1}}} \right| \le \left| {{a_1}} \right| + \left| {{a_2}} \right| + ... + \left| {{a_k}} \right| + \left| {{a_{k + 1}}} \right|\],tức là bất đẳng thức đúng với \[n = k + 1\].