Bài 15 trang 89 SGK Hình học 12 Nâng cao
Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:
a] Đi qua ba điểm \[M\left[ {2;0; - 1} \right]\,\,;\,\,N\left[ {1; - 2;3} \right]\,\,;\,\,P\left[ {0;1;2} \right]\];
b] Đi qua hai điểm \[A\left[ {1;1; - 1} \right]\,\,;\,\,B\left[ {5;2;1} \right]\]và song song với trục Oz ;
c] Đi qua điểm [3; 2; -l] và song song với mặt phẳng có phương trình x 5y + z = 0;
d] Đi qua hai điểm A[0 ; 1 ; 1], B[- 1 ; 0 ; 2] và vuông góc với mặt phẳng x y + z 1 = 0 ;
e] Đi qua điểm M[a ; b ; c] [với \[abc \ne 0\]] và song song với một mặt phẳng toạ độ ;
g] Đi qua điểm G[1 ; 2 ; 3] và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;
h] Đi qua điểm H[2 ; 1 ; 1] và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.
Giải
a] Ta có: \[\overrightarrow {MN} = \left[ { - 1; - 2;4} \right],\,\overrightarrow {MP} = \left[ { - 2;1;3} \right]\].
Suy ra \[\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left[ { - 10; - 5; - 5} \right] = - 5\left[ {2;1;1} \right]\].
Chọn vectơ pháp tuyến của mp[MNP] là \[\overrightarrow n = \left[ {2;1;1} \right]\]. Mp[MNP] đi qua \[M\left[ {2;0; - 1} \right]\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {2;1;1} \right]\] nên có phương trình là:
\[2\left[ {x - 2} \right] + 1\left[ {y - 0} \right] + 1\left[ {z + 1} \right] = 0 \]
\[\Leftrightarrow 2x + y + z - 3 = 0\]
b] Mp[P] đi qua A, B và song song với trục Oz có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n \] vuông góc vói \[\overrightarrow {AB} = \left[ {4;1;2} \right]\] và vuông góc với \[\overrightarrow k = \left[ {0;0;1} \right]\] nên:
\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right] = \left[ {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2\,\,\,\,\,\,4 \hfill \cr
1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
4\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right] \]
\[= \left[ {1; - 4;0} \right]\]
[P] qua \[A\left[ {1;1; - 1} \right]\]và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {1; - 4;0} \right]\] nên [P] có phương trình:
\[1\left[ {x - 1} \right] - 4\left[ {y - 1} \right] + 0\left[ {z + 1} \right] = 0 \]
\[\Leftrightarrow x - 4y + 3 = 0\]
c] Mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\]: \[x - 5y + z = 0\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {1; - 5;1} \right]\].
\[Mp\left[ \beta \right]\] qua \[A\left[ {3;2; - 1} \right]\] song song với \[mp\left[ \alpha \right]\] nên \[\left[ \beta \right]\] có cùng vectơ pháp tuyến .
Do đó \[\left[ \beta \right]\]: \[\left[ {x - 3} \right] - 5\left[ {y - 2} \right] + \left[ {z + 1} \right] = 0 \]
\[\Leftrightarrow x - 5y + z + 8 = 0\]
d] Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left[ { - 1; - 1;1} \right]\]
\[Mp\left[ \alpha \right]\]: \[x - y + z + 1 = 0\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow m = \left[ {1; - 1;1} \right]\].
\[Mp\left[ \beta \right]\] đi qua A, B và vuông góc với \[mp\left[ \alpha \right]\] nên vectơ pháp tuyến của \[\left[ \beta \right]\] vuông góc với \[\overrightarrow {AB} \] và vuông góc với \[\overrightarrow m \] nên ta có thể chọn:
\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow m } \right] = \left[ {0;2;2} \right]\]
Vậy [P]: \[2\left[ {y - 1} \right] + 2\left[ {z - 1} \right] = 0 \Leftrightarrow y + z - 2 = 0\]
e] Mặt phẳng đi qua \[M\left[ {a,b,c} \right]\]song song với mp[Oxy] có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow k = \left[ {0;0;1} \right]\] nên có phương trình: \[1\left[ {z - c} \right] = 0 \Leftrightarrow z - c = 0\]
Tương tự mặt phẳng đi qua \[M\left[ {a,b,c} \right]\] song song với mp[Oyz] có phương trình x a = 0; mặt phẳng đi qua \[M\left[ {a,b,c} \right]\] song song với mp[Oxz] có phương trình y b = 0.
g] Giả sử \[A\left[ {a;0;0} \right]\,,\,B\left[ {0,b,0} \right]\,,\,C\left[ {0,0,c} \right]\].
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên
\[{{a + 0 + 0} \over 3} = 1;{{0 + b + 0} \over 3} = 2;{{0 + 0 + c} \over 3} = 3 \]
\[\Rightarrow a = 3;b = 6;c = 9\]
Vậy mp[ABC]: \[{x \over 3} + {y \over 6} + {z \over 9} = 1\].
h] Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trực tâm \[\Delta ABC\]khi và chỉ khi \[OH \bot mp\left[ {ABC} \right]\].
Vậy mp[ABC] đi qua H va có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {OH} = \left[ {2;1;1} \right]\] nên có phương trình :
\[2\left[ {x - 2} \right] + \left[ {y - 1} \right] + \left[ {z - 1} \right] = 0\]
\[\Leftrightarrow 2x + y + z - 6 = 0\]
Bài 16 trang 89 SGK Hình học 12 Nâng cao
Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mật phẳng cho bởi các phương trình sau:
a] \[x + 2y - z + 5 = 0\] và \[2x + 3y - 7z - 4 = 0\].
b] \[z - 2y + z - 3 = 0\]và \[2x - y + 4z - 2 = 0\].
c] \[x + y + z - 1 = 0\] và \[2x + 2y + 2z + 3 = 0\].
d] \[3x - 2y + 3z + 5 = 0\]và \[9x - 6y - 9z - 5 = 0\].
e] \[x - y + 2z - 4 = 0\] và \[10x - 10y + 20z - 40 = 0\].
Giải
a] Ta có \[1:2:\left[ { - 1} \right] \ne 2:3:\left[ { - 7} \right]\] nên hai mặt phẳng đã cho cắt nhau.
b] \[1:\left[ { - 2} \right]:1 \ne 2:\left[ { - 1} \right]:4\] nên hai mặt phẳng cắt nhau.
c] \[{1 \over 2} = {1 \over 2} = {1 \over 2} \ne {{ - 1} \over 3}\] nên hai mặt phẳng song song.
d] \[3:\left[ { - 2} \right]:3 \ne 9:\left[ { - 6} \right]:\left[ { - 9} \right]\]nên hai mặt phẳng cắt nhau.
e] \[{1 \over {10}} = {{ - 1} \over { - 10}} = {2 \over {20}} = {{ - 4} \over { - 40}}\] nên hai mặt phẳng trùng nhau.
Bài 17 trang 89 SGK Hình học 12 Nâng cao
Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song:
a] \[2x + ny + 2z + 3 = 0\] và \[mx + 2y - 4z + 7 = 0\].
b] \[2x + y + mz - 2 = 0\] và \[x + ny + 2z + 8 = 0\].
Giải
a] Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau khi và chỉ khi:
\[{2 \over m} = {n \over 2} = {2 \over { - 4}} \ne {3 \over 7} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m = - 4 \hfill \cr
n = - 1 \hfill \cr} \right.\]
b] Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau khi và chỉ khi:
\[{2 \over 1} = {1 \over n} = {m \over 2} \ne {{ - 2} \over 8} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m = 4 \hfill \cr
n = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\]